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In diesen Erklärungen erfährst du, wie die Menge der ganzen Zahlen aufgebaut ist und welche Eigenschaften die ganzen Zahlen besitzen.

Die Menge der ganzen Zahlen

Du kennst bereits die natürlichen Zahlen (

). Sie lassen sich (zusammen mit der Null) auf dem Zahlenstrahl darstellen:/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_1.jpg

Erweitert man den Zahlenstrahl nach links über die Null hinweg, entsteht eine Zahlengerade:/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_2.jpg

Während die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts abgetragen werden, geschieht dies bei den neuen Zahlen links von der 0 in umgekehrter Richtung. Man schreibt daher ein „-“ (Minus) vor die Zahl und nennt sie negative Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind positive Zahlen und haben ein „+“ (Plus) als Vorzeichen. Das schreibt man aber meist nicht hin.

Warum braucht man negative Zahlen?

Die negativen Zahlen werden benötigt, um die Subtraktion auch ausführen zu können, wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend.
6 - 8 = ?

In der Menge der natürlichen Zahlen mit der Null (

0

) kann man von 6 höchstens 6 abziehen und stößt auf dem Zahlenstrahl bei 0 an eine Grenze. Die von 8 noch verbleibenden 2 kann man nicht mehr abziehen.Man führt daher negative Zahlen ein, die dies ermöglichen, wenn man sie links von der 0 auf der Zahlengeraden abträgt. In der Menge der ganzen Zahlen (ℤ) lässt sich die Aufgabe

6 - 8

also lösen:

6 - 8 = -2

Negative Zahlen im Alltag

Die negativen Zahlen unterscheiden sich von den positiven Zahlen dadurch, dass sie ein Minus als Vorzeichen haben. Du begegnest negativen Zahlen auch im Alltag.
Wenn die Temperatur unter

0 ?C

sinkt, gibt man sie als negative Zahl an:-

3 ?C

/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_3.jpg

Wenn ein Ort unterhalb des Meeresspiegels liegt, gibt man seine Lage mit „m u.NN“ (sprich: „Meter unter Normalnull“) an, beziehungsweise seit dem Jahr 2000 mit „m.u.NHN“(sprich: „Meter unter Normalhöhennull“) an.
/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_4.jpg

Die Wilstermarsch liegt am Nord-Ostsee-Kanal in Schleswig-Holstein. Sie ist mit

-3.54 m

(oder

3.54 m

u.NN) die tiefstgelegene Landstelle Deutschlands.

Wenn jemand Schulden gemacht hat, dann werden diese als negative Zahl auf dem Konto angezeigt:

-319.23

/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_5.jpg

Ganze Zahlen an der Zahlengeraden

Die negativen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden links von der Null. Du zählst von der Null aus sozusagen „rückwärts“: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -13, ...

/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_6.jpg

Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto kleiner ist sie!
-281

ist also kleiner als

-3

Jede negative Zahl ist kleiner als null und daher auch kleiner als jede positive Zahl.
-3

ist kleiner als 0

Betrag und Gegenzahl

Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur Null.
/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_7.jpg

10 hat den Abstand 10 zur Null, man schreibt: |10| = 10 („der Betrag von 10 ist 10“).-6 hat den Abstand 6 zur Null, man schreibt: |-6| = 6 („der Betrag von -6 ist 6“).

Es gibt jeweils zwei Zahlen, die den gleichen Abstand zur Null und damit auch den gleichen Betrag haben. Jede dieser beiden Zahlen ist die Gegenzahl der anderen.
/wp-content/uploads/media/kem_GanZ_GanZErarKl_8.jpg

Die Gegenzahl zu 8 ist die -8 und umgekehrt.


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