Symmetrie und Bewegungen

Eine Abbildung heißt Achsenspiegelung, wenn sie folgende Eigenschaften hat:Ein Punkt P und sein an der Achse gespiegelter Bildpunkt P‘ liegen auf einer zur Achse senkrechten Geraden. Beide haben denselben Abstand zur Achse.Punkte auf der Achse werden auf sich selbst abgebildet, sie sind Fixpunkte.Du kannst dir eine Achsenspiegelung so vorstellen:Sie ist eine Bewegung, bei der Figuren an einer Geraden „umgeklappt“ werden. Die Gerade nennt man Spiegelachse. Du kannst das Bild einer Figur auch erzeugen, wenn du einen Spiegel auf der Spiegelachse aufstellst und die gespiegelte Figur nachzeichnest. Eine Spiegelung hat folgende Eigenschaften:Das Original einer Figur und ihr Spiegelbild sind deckungsgleich. Strecken werden auf gleich lange Strecken abgebildet, Winkel auf gleichgroße Winkel, Geraden wieder auf Geraden, wobei auch die Parallelität von Geraden erhalten bleibt. Der Umlaufsinn einer Beschriftung der Figur ändert sich aber. Sind die Punkte der Originalfigur gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, so sind die entsprechenden Bildpunkte im Uhrzeigersinn beschriftet. Man sagt, das Original und sein Spiegelbild sind entgegengesetzt orientiert.

Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie mindestens eine Spiegelachse besitzt, also eine Hälfte der Figur das Spiegelbild der anderen Hälfte ist. Es gibt Figuren mit mehreren Symmetrieachsen. Der Kreis hat sogar unendlich viele Symmetrieachsen.

Eine Abbildung heißt Drehung um Z um den Winkel $\alpha$, wenn sie die folgenden Eigenschaften hat:Der Bildpunkt von Z ist Z, das heißt Z ist ein Fixpunkt.Für jeden anderen Punkt P gilt: P und der Bildpunkt P' haben von Z den gleichen Abstand und schließen mit Z den Winkel $\alpha$ein.Den Fixpunkt Z nennt man Drehzentrum, den Winkel $\alpha$Drehwinkel.Du kannst dir eine Drehung so vorstellen:Eine Drehung ist eine Bewegung, bei der ein Punkt Z festbleibt. Alle anderen Punkte bewegen sich auf Kreisen um diesen Punkt um einen festen Winkel. Eine Drehung hat folgende Eigenschaften:Das Original einer Figur und ihr Spiegelbild sind deckungsgleich.Strecken werden auf gleich lange Strecken abgebildet, Winkel auf gleichgroße Winkel, Geraden wieder auf Geraden, wobei auch die Parallelität von Geraden erhalten bleibt. Der Umlaufsinn einer Beschriftung der Figur ändert sich nicht. Sind die Punkte der Originalfigur gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, so sind die entsprechenden Bildpunkte ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Man sagt, das Original und sein Spiegelbild sind gleich orientiert.Eine Drehung kann auch durch zwei hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen erzeugt werden. Dazu wählst du zwei Halbgeraden, die den Drehwinkel einschließen. Als erste Spiegelachse wählst du einen der Schenkel, als zweite Spiegelachse die Winkelhalbierende des eingeschlossenen Drehwinkels.Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn sie ein Drehzentrum hat, es also einen Punkt gibt, um den man die Figur so drehen kann, dass sie mit sich selbst zur Deckung kommt. Der Drehwinkel muss dabei kleiner als $360°$und größer als $0°$sein.

Eine Abbildung heißt Punktspiegelung am Punkt Z, wenn sie die folgenden Eigenschaften hat:Der Bildpunkt von Z ist Z.Für jeden anderen Punkt P gilt:P und der Bildpunkt P' haben von Z den gleichen Abstand, und Z ist der Mittelpunkt der Strecke $\stackrel{\_}{\text{PP'}}$. Jede Punktspiegelung ist eine Drehung um Z mit dem Drehwinkel $180°$.Du kannst dir die Punktspiegelung also als Drehung um Z mit dem Drehwinkel $180°$vorstellen.Die Punktspiegelung hat folgende Eigenschaften:Das Original einer Figur und ihr Spiegelbild sind deckungsgleich.Strecken werden auf gleich lange Strecken abgebildet, Winkel auf gleichgroße Winkel, Geraden wieder auf Geraden, wobei auch die Parallelität von Geraden erhalten bleibt. Der Umlaufsinn einer Beschriftung der Figur ändert sich nicht. Sind die Punkte der Originalfigur gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, so sind die entsprechenden Bildpunkte ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Man sagt, das Original und sein Spiegelbild sind gleich orientiert.Eine Punktspiegelung kann auch durch zwei hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen erzeugt werden. Dabei müssen die beiden Spiegelachsen durch Z gehen und senkrecht aufeinander stehen. Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie einen Symmetriepunkt hat, es also einen Punkt gibt, um den man die Figur um $180°$drehen kann, ohne sie dabei zu verändern.

Eine Abbildung heißt Verschiebung (auch Parallelverschiebung), wenn sie folgende Eigenschaften hat: Jeder Punkt einer Figur wird um die gleiche Länge und in die gleiche Richtung verschoben. Die Verschiebung eines Punktes P auf seinen Bildpunkt P" wird durch einen Verschiebungspfeil gekennzeichnet.Eine Figur und die verschobene Figur sind deckungsgleich, denn jede Verschiebung ist eine Kongruenzabbildung: Strecken werden auf gleich lange Strecken abgebildet, Winkel auf gleichgroße Winkel, Geraden wieder auf Geraden, wobei auch die Parallelität von Geraden erhalten bleibt. Der Umlaufsinn der Beschriftung ändert sich nicht. Die Originalfigur und die verschobene Figur sind gleich orientiert.Eine Parallelverschiebung kann auch durch zwei hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen bewirkt werden. Du zeichnest eine Strecke, deren Länge und Richtung durch den Verschiebungspfeil gegeben sind. Als erste Spiegelachse wählst du die Gerade, die senkrecht auf einem der Endpunkte dieser Strecke steht, als zweite Spiegelachse die Mittelsenkrechte der Strecke.