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Zehnerpotenzen

Potenzen mit der Basis 10 heißen Zehnerpotenzen . Der Exponent gibt die Anzahl der Nullen an, die du benötigst, um die Potenz als natürliche Zahl bzw. als Dezimalzahl zu schreiben.
10 n = 1 0 . . . 0 n Nullen 10 - n = 0,0 . . . 0 n Nullen 1
10 3 = 1000 .
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10 -3 = 0.001 .
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_2.jpg

Wissenschaftliche Schreibweise

Um sehr große und sehr kleine positive Zahlen übersichtlich aufschreiben zu können, trennst du Zehnerpotenzen ab.
Bei jeder endlichen Dezimalzahl kannst du das Komma so verschieben, dass nur eine Ziffer vor dem Komma steht, indem du mit einer Zehnerpotenz multiplizierst. Die Zehnerpotenz schreibst du als Faktor dahinter. Der Exponent der Zehnerpotenz ist gleich der Stellenzahl , um die du das Komma nach links (positiver Exponent) oder rechts (negativer Exponent) verschoben hast.
Diese Darstellung heißt wissenschaftliche Schreibweise.
458000 = 4.58 * 10 5
Du zählst die Stellen, um die du das Komma nach links verschiebst bis die Dezimalzahl genau eine, von Null verschiedene Ziffer vor dem Komma hat.
4 58,000 = 4.58 * 10 5
0.00021 = 2.1 * 10 -4
Du zählst die Stellen, um die du das Komma nach rechts verschiebst bis die Dezimalzahl genau eine, von Null verschiedene Ziffer vor dem Komma hat. 0, 0002 1 = 2.1 * 10 -4
Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise kann man leicht vergleichen. Dazu vergleichst du entweder nur die Exponenten der abgetrennten Zehnerpotenz oder, falls diese gleich sind, nur die Dezimalzahlen davor.
3.12 * 10 -15 < 1.79 * 10 12
10 -15 < 10 12 , da -15 < 12 .
3.141,592 * 10 5 < 3.141,593 * 10 5
Die Exponenten sind gleich, aber 3.141,592 < 3.141,593 .

Potenzen mit rationalen Exponenten

Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen m , n 2 wird vereinbart:
a m n = a m n und a - m n = 1 a m n
Für positive Exponenten darf auch a = 0 sein: 0 m n = 0 m n = 0
Du kannst jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben.
5 3 4 = 5 3 4
5 - 3 4 = 1 5 3 4
Insbesondere lassen sich damit n-te Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben.
81 4 = 81 1 4

Die n-te Potenz

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Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n gt 1 ist:
a n = a * ... * a n-mal
Sprich: a hoch n
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Potenzen mit negativer Basis

Das Produkt aus einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist positiv. Damit ist auch eine Potenz mit negativer Basis und geradem Exponenten positiv.
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Das Produkt aus einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren ist negativ. Damit ist auch eine Potenz mit negativer Basis und ungeradem Exponenten negativ.
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Steht vor der Potenz ein negatives Vorzeichen, bildest du die Gegenzahl.Du berechnest also die Potenz zunächst ohne das Vorzeichen zu beachten und änderst anschließend das Vorzeichen.
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Potenzgesetze

1. Für eine ganze Zahl n und eine reelle Zahl a 0 ist a - n = 1 a n .2. Für eine reelle Zahl a 0 ist a -1 = 1 a 3. Für eine ganze Zahl n und reelle Zahlen a und b, beide ungleich 0, ist a b - n = b a n .
4 -5 = 1 4 5
1 4 -5 = 4 5
x y -2 = y x 2
Die Potenzgesetze für Potenzen mit natürlichen Exponenten gelten auch für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.
4. Für ganze Zahlen m und n und eine reelle Zahl a 0 gilt: a m * a n = a m + n und a m / a n = a m - n
5. Für eine ganze Zahl n und reelle Zahlen a,b 0 gilt: a n * b n = a * b n und a n / b n = a / b n
6. Für ganze Zahlen m und n und eine reelle Zahl a 0 gilt: a m n = a m * n
9 5 * 9 -2 = 9 5 9 2 = 9 5 - 2 = 9 3
2 -4 * 5 -4 = 2 * 5 -4 = 10 -4
7 -4 3 = 7 -4 * 3 = 7 -12

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