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Zehnerpotenzen

Potenzen

mit der

Basis

10 heißen

Zehnerpotenzen

. Der

Exponent

gibt die Anzahl der Nullen an, die du benötigst, um die Potenz als natürliche Zahl bzw. als

Dezimalzahl

zu schreiben.

10 n = 1 0 . . . 0 n Nullen

10 - n = 0,0 . . . 0 n Nullen 1

10 3 = 1000

.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_1.jpg

10 -3 = 0.001

.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_2.jpg

Wissenschaftliche Schreibweise

Um sehr große und sehr kleine positive Zahlen übersichtlich aufschreiben zu können, trennst du

Zehnerpotenzen

ab.

Bei jeder endlichen Dezimalzahl kannst du das Komma so verschieben, dass nur eine Ziffer vor dem Komma steht, indem du mit einer Zehnerpotenz multiplizierst. Die Zehnerpotenz schreibst du als

Faktor

dahinter. Der

Exponent

der Zehnerpotenz ist gleich der

Stellenzahl

, um die du das Komma nach links (positiver Exponent) oder rechts (negativer Exponent) verschoben hast.

Diese Darstellung heißt wissenschaftliche Schreibweise.

458000 = 4.58 * 10 5

Du zählst die Stellen, um die du das Komma nach

links

verschiebst bis die Dezimalzahl genau eine, von Null verschiedene Ziffer vor dem Komma hat.

4 58,000 = 4.58 * 10 5

0.00021 = 2.1 * 10 -4

Du zählst die Stellen, um die du das Komma nach

rechts

verschiebst bis die Dezimalzahl genau eine, von Null verschiedene Ziffer vor dem Komma hat.

0, 0002 1 = 2.1 * 10 -4

Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise kann man leicht vergleichen. Dazu vergleichst du entweder nur die Exponenten der abgetrennten Zehnerpotenz oder, falls diese gleich sind, nur die Dezimalzahlen davor.
3.12 * 10 -15 < 1.79 * 10 12

10 -15 < 10 12

, da

-15 < 12

.

3.141,592 * 10 5 < 3.141,593 * 10 5

Die Exponenten sind gleich, aber

3.141,592 < 3.141,593

.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen

m

,

n 2

wird vereinbart:

a m n = a m n

und

a - m n = 1 a m n

Für positive Exponenten darf auch

a = 0

sein:

0 m n = 0 m n = 0

Du kannst jede

Wurzel als Potenz

mit rationalem

Exponenten

und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben.

5 3 4 = 5 3 4

5 - 3 4 = 1 5 3 4

Insbesondere lassen sich damit

n-te Wurzeln

als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben.

81 4 = 81 1 4

Die n-te Potenz

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_3.jpg
Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl

n gt 1

ist:

a n = a * ... * a n-mal

Sprich: a hoch n
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_4.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_5.jpg

Potenzen mit negativer Basis

Das Produkt aus einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist positiv. Damit ist auch eine Potenz mit negativer Basis und geradem Exponenten positiv.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_6.jpg

Das Produkt aus einer

ungeraden

Anzahl negativer Faktoren ist negativ. Damit ist auch eine Potenz mit negativer Basis und

ungeradem

Exponenten negativ.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_7.jpg

Steht vor der Potenz ein negatives Vorzeichen, bildest du die Gegenzahl.Du berechnest also die Potenz zunächst ohne das Vorzeichen zu beachten und änderst anschließend das Vorzeichen.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_8.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGLPuW_9.jpg

Potenzgesetze

1. Für eine ganze Zahl n und eine reelle Zahl

a

0

ist

a - n = 1 a n

.2. Für eine reelle Zahl

a

0

ist

a -1 = 1 a

3. Für eine ganze Zahl n und reelle Zahlen a und b, beide ungleich 0, ist

a b - n = b a n

.

4 -5 = 1 4 5

1 4 -5 = 4 5

x y -2 = y x 2

Die

Potenzgesetze

für

Potenzen

mit natürlichen

Exponenten

gelten auch für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.

4. Für ganze Zahlen m und n und eine reelle Zahl

a

0

gilt:

a m * a n = a m + n

und

a m / a n = a m - n

5. Für eine ganze Zahl n und reelle Zahlen a,b

0

gilt:

a n * b n = a * b n

und

a n / b n = a / b n

6. Für ganze Zahlen m und n und eine reelle Zahl

a

0

gilt:

a m n = a m * n

9 5 * 9 -2 = 9 5 9 2 = 9 5 - 2 = 9 3

2 -4 * 5 -4 = 2 * 5 -4 = 10 -4

7 -4 3 = 7 -4 * 3 = 7 -12


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