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Einführung in quadratische Funktionen

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Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion

Funktionen, die sich mit Termen der Form

f x = a x 2 + b x + c

mit

a

0

darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen.

Ihre Graphen heißen Parabeln.

Die Gleichung

y = a x 2 + b x + c

heißt Parabelgleichung.

Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel.

Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung

y = f x = x 2

.

Ihr Graph ist die Normalparabel.

/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_1.jpg

Du berechnest den Funktionswert (y-Wert) zu einem Argument (x-Wert), indem du dieses in den Funktionsterm einsetzt.

y = f x = -2 x 2 + 3

y = f 2 = -2 * 2 2 + 3 = -5

Besondere Punkte von quadratischen Funktionen

Nullstelle/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_2.jpg

y-Achsenabschnitt/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_3.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_4.jpg

Scheitelpunkt:Ist die Parabel nach unten geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Hochpunkt (

Maximum

).Ist die Parabel nach oben geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Tiefpunkt (

Minimum

).

Ist die Lage des Scheitelpunktes bekannt, kann die Parabel, sofern sie nicht durch

Parameter

verzerrt ist, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein

Koordinatensystem

gezeichnet werden.

/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_5.jpg

Symmetrieeigenschaften der Parabel

Eine Parabel ist

achsensymmetrisch

. Die Symmetrieachse verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.

/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_6.jpg

Zu zwei verschiedenen Punkten mit gleichen y-Koordinaten auf einer unverzerrten Parabel kannst du leicht die x-Koordinaten bestimmen, wenn du den Scheitelpunkt der Parabel kennst.

/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_7.jpg

Die Punkte

P 1

und

P 2

haben in y-Richtung den Abstand

1 - -3 = 4

vom Scheitelpunkt.Folglich haben die Punkte in x-Richtung den Abstand

4 = 2

vom Scheitelpunkt.

2 + 2 = 4

und

2 - 2 = 0

Mit den Nullstellen der Funktion kannst du den Scheitelpunkt schnell bestimmen.
/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_8.jpg

Nullstellen:

x 1 = 0

und

x 2 = 4

Die Nullstellen haben von der

Symmetrieachse

denselben Abstand.

Folglich liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes in der Mitte zwischen den Nullstellen.

x s = 2

Du berechnest den zugehörigen

Funktionswert

durch Einsetzen in den

Funktionsterm

:

f 2 = 2 2 - 4 * 2 = -4

Definitionsbereich und Wertebereich einer quadratischen Funktion

Der Definitionsbereich D einer quadratischen Funktion f ist ℝ, da jede

reelle Zahl

an Stelle von x in den Funktionsterm

f

x eingesetzt werden kann.

Der kleinstmögliche Wertebereich W einer quadratischen Funktion besteht in Abhängigkeit vom Funktionsterm entweder

/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_9.jpg

oder/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_10.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_11.jpg

D =

und

W = { y | y 2 }


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