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Einführung in quadratische Funktionen

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Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion

Funktionen, die sich mit Termen der Form
f x = a x 2 + b x + c mit a ≠ 0
darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen.
Ihre Graphen heißen Parabeln.
Die Gleichung y = a x 2 + b x + c heißt Parabelgleichung.
Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel.
Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = f x = x 2 .
Ihr Graph ist die Normalparabel.
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Du berechnest den Funktionswert (y-Wert) zu einem Argument (x-Wert), indem du dieses in den Funktionsterm einsetzt.
y = f x = -2 x 2 + 3 y = f 2 = -2 * 2 2 + 3 = -5

Besondere Punkte von quadratischen Funktionen

Nullstelle/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_2.jpg
y-Achsenabschnitt/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_3.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_4.jpg
Scheitelpunkt:Ist die Parabel nach unten geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Hochpunkt ( Maximum ).Ist die Parabel nach oben geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Tiefpunkt ( Minimum ).
Ist die Lage des Scheitelpunktes bekannt, kann die Parabel, sofern sie nicht durch Parameter verzerrt ist, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.
/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_5.jpg

Symmetrieeigenschaften der Parabel

Eine Parabel ist achsensymmetrisch . Die Symmetrieachse verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.
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Zu zwei verschiedenen Punkten mit gleichen y-Koordinaten auf einer unverzerrten Parabel kannst du leicht die x-Koordinaten bestimmen, wenn du den Scheitelpunkt der Parabel kennst.
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Die Punkte P 1 und P 2 haben in y-Richtung den Abstand 1 - -3 = 4 vom Scheitelpunkt.Folglich haben die Punkte in x-Richtung den Abstand 4 = 2 vom Scheitelpunkt.
2 + 2 = 4 und 2 - 2 = 0
Mit den Nullstellen der Funktion kannst du den Scheitelpunkt schnell bestimmen.
/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_8.jpg
Nullstellen: x 1 = 0 und x 2 = 4
Die Nullstellen haben von der Symmetrieachse denselben Abstand.
Folglich liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes in der Mitte zwischen den Nullstellen. x s = 2
Du berechnest den zugehörigen Funktionswert durch Einsetzen in den Funktionsterm : f 2 = 2 2 - 4 * 2 = -4

Definitionsbereich und Wertebereich einer quadratischen Funktion

Der Definitionsbereich D einer quadratischen Funktion f ist ℝ, da jede reelle Zahl an Stelle von x in den Funktionsterm f x eingesetzt werden kann.
Der kleinstmögliche Wertebereich W einer quadratischen Funktion besteht in Abhängigkeit vom Funktionsterm entweder
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oder/wp-content/uploads/media/kem_QFuG_QFuGGrEinf_10.jpg
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D = ℝ und W = { y ∈ ℝ | y ≥ 2 }

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