Wurzellängen und Abstandsbestimmung im Koordinatensystem

Die Wurzel einer natürlichen Zahl ist meistens eine $\text{irrationale Zahl}$, z.B. $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, ... Dennoch lassen sich diese Zahlen geometrisch als Längen von Strecken darstellen. Zum Beispiel hat die Diagonale in einem $\text{Einheitsquadrat}$ die Länge $\sqrt{2}$. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras.

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich eine Formel herleiten, mit der du den Abstand zweier Punkte aus deren Koordinaten berechnen kannst. Das Ergebnis liefert den exakten Wert und macht das Einzeichnen der Punkte im Koordinatensystem in vielen Fällen überflüssig. Den Abstand d zwischen zwei Punkten $A\left(a_1|a_2\right)$ und $B\left(b_1|b_2\right)$ berechnest du mit der Abstandsformel $d\left(A\text{,}B\right)=\sqrt{{\left(b_1-a_1\right)}^2+{\left(b_2-a_2\right)}^2}$. Der Abstand d zwischen den Punkten A und B ist gleich der Länge der Strecke $\stackrel{\_}{\mathrm{AB}}$: Die Strecke $\stackrel{\_}{\mathrm{AB}}$ ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{APB}$. Die Kathete $\stackrel{\_}{\mathrm{AP}}$ hat die Länge $b_1-a_1$, die Kathete $\stackrel{\_}{\mathrm{BP}}$ hat die Länge $b_2-a_2$. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: $d^2={\left(b_1-a_1\right)}^2+{\left(b_2-a_2\right)}^2$ Also : $d=\sqrt{{\left(b_1-a_1\right)}^2+{\left(b_2-a_2\right)}^2}$