Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

Fast jeder hat den Satz schon einmal gehört: $a^2+b^2=c^2$. Du kannst die Aussage des Satzes nachvollziehen, wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest. Dann erhältst du diese Figur: In einem rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{ABC}$mit dem rechten Winkel im Punkt $C$sind $a$und $b$die Längen der $\text{Katheten}$und $c$die der $\text{Hypotenuse}$. Es ist $a^2$der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge $a$, $b^2$der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge $b$und $c^2$der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich nicht nur Flächeninhalte berechnen, sondern auch die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.

Ein rechter Winkel lässt sich auf ganz einfache Weise im Gelände abstecken. Hierzu nimmst du eine Schnur und unterteilst sie mit 11 Knoten in 12 gleich lange Teile. Mit dieser Schnur kannst du ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 legen, denn 3 + 4 + 5 = 12. Es ergibt sich ein rechter Winkel. Dass dieser „Trick“ funktioniert, folgt nicht aus dem Satz des Pythagoras, sondern aus seiner Umkehrung. Diese Umkehrung besagt: Wenn in einem Dreieck $\mathrm{ABC}$  $a^2+b^2=c^2$gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite mit der Länge $c$gegenüber liegt. Du kannst also anhand der Seitenlängen eines Dreiecks überprüfen, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Willst du ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit überprüfen, kommt immer nur die längste der drei Seiten als Hypotenuse in Frage.

Drei natürliche Zahlen $a$, $b$, $c$, die die Gleichung $a^2+b^2=c^2$erfüllen, heißen $\text{pythagoreisches Zahlentripel (}a\text{,}b\text{,}c\text{)}$(Tripel, weil es drei Zahlen sind). Das Tripel ( $3$, $4$, $5$) ist ein solches pythagoreisches Zahlentripel.

Jedes rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen $a$, $b$und $c$liefert ein pythagoreisches Zahlentripel ( $a$, $b$, $c$). Umgekehrt liefert jedes pythagoreische Zahlentripel ( $a$, $b$, $c$) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a$, $b$und $c$. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung.