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Quadratzahlen und Potenzen

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In diesen Erklärungen erfährst du, was Potenzen natürlicher Zahlen sind und lernst die Quadratzahlen kennen.

Grundbegriffe zu Potenzen

Die Potenzschreibweise ist eine Abkürzung für die Multiplikation gleicher Zahlen. Die natürliche Zahl im Exponenten gibt an, wie oft die Basis als Faktor auftritt.
Jede Potenz besteht aus einem Exponenten und einer Basis.
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Eine Potenz ist die wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst!
/wp-content/uploads/media/kem_NZ_NZRgeRvQuPo_2.jpg
Die Basis steht für den Faktor (im Beispiel 2) und der Exponent (im Beispiel 5) gibt an, wie oft die Basis als Faktor auftritt.
Du sprichst die Rechenoperation als „2 hoch 5“ aus.
10 2 , 10 3 , ... werden als Zehnerpotenzen bezeichnet.
  2 2 , 2 3 , ... werden als Zweierpotenzen bezeichnet.

Potenzen in ein Produkt umwandeln und umgekehrt

Um die Zahl zu ermitteln, die durch eine Potenz dargestellt wird, wandelst du die Potenz in das zugehörige Produkt um.
Man verwendet auch Potenzen mit den Exponenten 1 und 0.
Eine Potenz mit dem Exponenten 1 stellt die Zahl selbst dar, also die Basis. 2 1 = 2
Eine Potenz mit dem Exponenten 0 stellt für jede Basis (außer Null) die Zahl 1 dar: 1 0 = 1 ; 2 0 = 1 ; 3 0 = 1 ; ...
Wenn der Exponent 1 ist, ist die Potenz gleich der Basis.
Wenn der Exponent Null ist und die Basis ungleich 0, ist die Potenz 1.
Du kannst jede Zahl, bei der an der Stelle mit dem höchsten Stellenwert eine 1 steht und sonst lauter Nullen, als Zehnerpotenz schreiben.
Schreibe 10000,000 und 50000,000 in der Potenzschreibweise!
In Potenz umwandeln
50000,000 = 5 · 10000,000
Du zählst einfach die Endnullen der Zahl (hier 7) und schreibst diese in den Exponenten: 10000,000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 ·10 · 10 = 10 7   50000,000 = 5 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 5 · 10 7
10000,000 = 10 7
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Zehnerpotenzschreibweise von großen Zahlen
Welche Zahl wird hier in Zehnerpotenzschreibweise dargestellt?
  3 · 10 3 + 3 · 10 2 + 6 · 10 1 + 1 · 10 0 =
In Potenz umwandeln
Jeder Stelle im Dezimalsystem entspricht eine Zehnerpotenz:
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Also kannst du eine Zahl aus Zehnerpotenzen zusammensetzen. Die Zehnerpotenz gibt dir den Stellenwert an und der Faktor vor der Zehnerpotenz, wie oft dieser vorkommt.
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  3 · 10 3 + 3 · 10 2 + 6 · 10 1 + 1 · 10 0 = 3361
Basis bestimmen
Bestimme die Basis.
  ___ 4 = 16
Basis finden
Du überlegst dir, welche Zahl viermal mit sich selbst multipliziert, 16 ergibt.
___ 4 = 16   ___ 4 = 2 · 2 · 2 · 2
Die Basis ist damit 2.
Exponent bestimmen
Bestimme den Exponenten.
  2 - = 16
Exponent finden
Du überlegst dir, wie oft du die Basis 2 mit sich selbst multiplizieren musst, damit du 16 erhältst.
/wp-content/uploads/media/kem_NZ_NZRgeRvQuPo_6.jpg
Der Exponent ist damit 4.

Quadratzahlen

Quadratzahlen sind natürliche Zahlen, die durch Multiplikation mit sich selbst entstehen.
Quadratzahlen sind also Potenzen mit dem Exponenten 2.
Dies sind die ersten 10 Quadratzahlen:
  0 · 0 = 0   1 · 1 = 1   2 · 2 = 4   3 · 3 = 9   4 · 4 = 16   5 · 5 = 25   6 · 6 = 36   7 · 7 = 49   8 · 8 = 64   9 · 9 = 81
Bei der Multiplikation von Zahlen mit sich selbst entsteht eine Quadratzahl.
/wp-content/uploads/media/kem_NZ_NZRgeRvQuPo_7.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_NZ_NZRgeRvQuPo_8.jpg
Quadratzahlen wie 4, 9, 16, 25, … kannst du als Quadratmuster zusammenlegen.Deshalb werden Zahlen mit dem Exponenten 2 auch Quadratzahlen genannt.

Endziffern von Quadratzahlen

Die ersten 10 Quadratzahlen zeigen dir, dass Quadratzahlen nur bestimmte Endziffern haben können.
Du betrachtest die Endziffern der Quadratzahlen und siehst, dass nur die Ziffern 0, 1, 4, 5, 6 und 9 vorkommen.
Bei zweistelligen Quadratzahlen (10 ∙ 10; 11 ∙ 11; 12 ∙ 12;…) erhältst du genau die gleichen Endziffern.Bei der Multiplikation zweier Zahlen bestimmen die Endziffern der Zahlen auch die Endziffer des Ergebnisses.
  153 · 153 = 2340 9 /wp-content/uploads/media/kem_NZ_NZRgeRvQuPo_9.jpg das ist die gleiche Endziffer wie bei 3 · 3 = 9
Die Endziffern wiederholen sich bei den Quadratzahlen also immer wieder.
Deshalb kannst du dir merken, dass alle Zahlen, die 2, 3, 7 oder 8 als Endziffer haben, ganz bestimmt keine Quadratzahlen sind.
Dies bedeutet jedoch nicht, dass alle Zahlen mit den Endziffern 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 Quadratzahlen sind (die 10 ist zum Beispiel keine Quadratzahl).

Grössenvergleich von Potenzen

Ein Vergleich von Potenzen ist manchmal ohne Rechnung möglich.
Einfache Fälle, bei denen dies gelingt:a) Die Basen sind gleich.b) Die Exponenten sind gleich.
Bei gleicher Basis ist die Potenz mit größerem Exponenten auch größer.
Bei gleichem Exponenten ist die Potenz mit größerer Basis auch größer.
Gleiche Basen
Welche Potenz ist größer?
  3 5 oder 3 4
Potenzen vergleichen
Bei Potenzen mit gleicher Basis ist die Potenz größer, die einen größeren Exponenten hat, da ein höherer Exponent bedeutet, dass es mehr Faktoren gibt.
  3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3   3 4 = 3 · 3 · 3 · 3
Es gilt also: 3 5 > 3 4  
Gleiche Exponenten
Welche Zahl ist größer?
  3 3 oder 5 3
Potenzen vergleichen
Es gilt: 3 < 5 Die Multiplikation mit einer Zahl größer als 1 vergrößert stets das Ergebnis.
Wenn nun die 3 genauso häufig wie die 5 mit sich selber multipliziert wird, dann muss die Multiplikation mit Fünfen ein größeres Ergebnis liefern als die Multiplikation mit Dreien.
  3 3 = 3 · 3 · 3   5 3 = 5 · 5 · 5
Es gilt also: 3 3 < 5 3  

Rechnen mit Potenzen

Da in einer Potenz Multiplikationen zusammengefasst sind, berechnest du sie vor den Punktrechnungen.
Treten in den Rechentermen auch Klammern auf, rechnest du in der folgenden Reihenfolge:
/wp-content/uploads/media/kem_NZ_NZRgeRvQuPo_10.jpg
Potenzrechnung vor Punkt- vor Strichrechnung!
Gleiche Basen
Wenn du hier zuerst die Punkt- oder die Strichrechnung durchführst und dann anschließend erst die Potenz berechnest, dann kommst du auf ein anderes Ergebnis.
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Es gilt: Erst die Potenz ausrechnen, dann die Punktrechnung durchführen!Das richtige Ergebnis ist also 48.
Potenz und Punkt- vor Strichrechnung
200 + 3 · 5 2 =
Term berechnen
Du berechnest als erstes die Potenz. Anschließend gilt die Punkt- vor Strichrechnung.
/wp-content/uploads/media/kem_NZ_NZRgeRvQuPo_12.jpg
Potenz außerhalb einer Klammer
Rechne aus!
3 + 7 · 5 2 - 200 =
Term berechnen
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Potenz innerhalb einer Klammer
Rechne aus!
3 + 7 2 - 10 =
Term berechnen
Du berechnest hier zuerst die Potenz in der Klammer.
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