Potenzgesetze für Potenzen mit gleichem Exponenten

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Multiplikation von Potenzen

Für eine natürliche Zahl n und reelle Zahlen a und b gilt:

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

Du bildest das Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten, indem du ihre Basen multiplizierst.

a^{n} \cdot b^{n} = \underset{n-mal}{\underset{⏟}{a \cdot ... \cdot a}} \cdot \underset{n-mal}{\underset{⏟}{b \cdot ... \cdot b}} = \underset{n}{\underset{⏟}{(a \cdot b) \cdot ... \cdot (a \cdot b)}} = {(a \cdot b)}^{n}

Da die Multiplikation

kommutativ

ist, können die Faktoren beliebig vertauscht werden.

Für eine natürliche Zahl n und reelle Zahlen a und b mit b ≠ 0 gilt:

a^{n} : b^{n} = {(a : b)}^{n}

Du bildest den Quotienten von Potenzen mit gleichem Exponenten, indem du ihre Basen dividierst.

a^{n} : b^{n} = (\underset{n-mal}{\underset{⏟}{a \cdot ... \cdot a}}) : (\underset{n-mal}{\underset{⏟}{b \cdot ... \cdot b}}) = \underset{n gleiche Quotienten als Faktoren}{\underset{⏟}{(a : b) \cdot ... \cdot (a : b)}} = {(a : b)}^{n}

Bei Potenzen mit einem Bruch als Basis lassen sich Zähler und Nenner jeweils als Potenzen mit gleichem Exponenten schreiben:

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}