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inhomogenes Gleichungssystem

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Ein lineares inhomogenes Gleichungssystem hat die Form:

\(\left|a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+...+a_{1n} x_{n}=b_{1}\right|\)

\(\left|a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+...+a_{2n} x_{n}=b_{2}\right|\)

     \(\vdots \)

\(\left|a_{n1} x_{1}+a_{n2} x_{2}+...+a_{nn} x_{n}=b_{n}\right|\)

Siehe ->homogenes Gleichungssystem

Beispiel:

\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=9\)

\(5x_{1}+2x_{2}-x_{3}=18\)
geht über (durch Addition der beiden Gleichungen) in

\(6x_{1}+3x_{2}=27\) oder \(2x_{1}+x_{2}=9\)

Für \(x_{1}=r\) ergibt sich \(x_{2}=9-2r\) und \(x_{3}=9-9+2r-r=r\)

Lösung \(\begin{pmatrix} r\\\ 9-2r\\\ r \end{pmatrix}\) oder für r=0: \(\begin{pmatrix} 0\\\ 9\\\ 0 \end{pmatrix}\). Das zugehörige homogene Gleichungssystem

\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\)

\(5x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0\)
geht über in \(2x_{1}+x_{2}=0\) damit folgt für \(x_{1}=r\), \(x_{2}=-2r\) und \(x_{3}=r\) als allgemeine Lösung des inhomogenen Systems \(\begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\\ 9\\\ 0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\\ -2\\\ 1 \end{pmatrix}\) ,d.h. eine spezielle Lösung \(\begin{pmatrix} 0\\\ 9\\\ 0 \end{pmatrix}\) sowie alle Lösungen des homogenen Systems \(r\begin{pmatrix} 1\\\ -2\\\ 1 \end{pmatrix}\).


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