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Höhensatz und Kathetensatz

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Hier lernst du den Kathetensatz und den Höhensatz kennen. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras.

Der Kathetensatz des Euklid

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf der Hypotenuse diese in zwei Strecken, die Hypotenusenabschnitte p und q./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_1.jpg
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit rechtem Winkel im Punkt C und Hypotenusenabschnitten p und q gilt: a 2 = p · c und b 2 = q · c
 
Flächeninhalte vergleichen
Der Flächeninhalt des Kathetenquadrats beträgt 36 cm 2 6 · 6 = 36 .
Der Flächeninhalt des Rechtecks über dem Hypotenusenabschnitt p beträgt ebenfalls 36 cm 2 4 · 9 = 36 ./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_2.jpg
Mit Hilfe des Kathetensatzes kannst du die Längen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.
 
Hypotenuseanabschnitt p
(Maße in cm)/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_3.jpgLänge des Hypotenusenabschnitts p (in cm):
Nach dem Kathetensatz gilt p · c = a 2 Du stellst nach p um und setzt 12 für a und 15 für c ein.
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_4.jpg
 
Kathete b
(Maße in cm)/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_5.jpg
Länge der Kathete b (in cm):Nach dem Kathetensatz gilt: b 2 = q · c
c ist die Hypotenuse. Du addierst die Hypotenusenabschnitte.
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_6.jpg
Du setzt 13 für c und 25 13 für q in den Kathetensatz ein und ziehst die Wurzel.
  b 2 = 25 13 · 13
Also :
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_7.jpg

Der Höhensatz des Euklid

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf der Hypotenuse diese in zwei Strecken, die Hypotenusenabschnitte p und q./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_8.jpg
In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenabschnitten p und q und Höhe h gilt: h 2 = p · q
 
Flächeninhalte vergleichen
Der Flächeninhalt des Höhenquadrats beträgt 16 cm 2 4 · 4 = 16 .
Der Flächeninhalt des Rechtecks über dem Hypotenusenabschnitt p beträgt ebenfalls 16 cm 2 2 · 8 = 16 .
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_9.jpg
Mit Hilfe des Höhensatzes kannst du die Längen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.
 
Hypotenusenabschnitt q
Maße (in cm)/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_10.jpgLänge des Hypotenusenabschnitts q (in cm):
Nach dem Höhensatz gilt: h 2 = p · q  
Du stellst nach q um und setzt 12 für h und 16 für p ein.
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPHoeKat_11.jpg

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