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harmonische Reihe

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Die harmonische Reihe ist definiert durch \(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+cdots +frac{1}{n-1}+cdots \). Die Glieder diese Reihe bilden ein ->Nullfolge.

Die harmonische Reihe divergiert, denn ihre Partialsummen \(s_{n}\) wachsen über alle Grenzen. Es ist \(s_{n+1}=s_{n}+ frac{1}{n+1} >s_{n}\) und für \(n=2^{m}\) gilt:

\(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+cdots+frac{1}{2^{m}}>1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+cdots+frac{1}{2^{m}}=\)

\(1+frac{1}{2}+frac{2}{4}+frac{4}{8}+cdots+frac{2^{m}-1}{2^{m}}=1+frac{m}{2}\)

Die harmonische Reihe wird nach unten abgeschätzt. Es ist \(frac{1}{4}, [latex]frac{1}{8} usw.

[latex]1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+frac{1}{9}+cdots +frac{1}{16}<[/latex]

[latex]1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+cdots +frac{1}{16}+cdots =\)

\(1+frac{1}{2}+2cdot frac{1}{4}+4cdot frac{1}{8}+8cdot frac{1}{16}+cdots =\)

\(1+frac{1}{2}+frac{1}{2}+frac{1}{2}+frac{1}{2}+cdots \) wächst weiter, hat keinen Grenzwert, divergiert.

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