Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Der Graph einer Exponentialfunktion $y=b^x$mit $b$ $>$ $0$, $b$≠ $1$enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | b . Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen.

Der Definitionsbereich $D$einer Exponentialfunktion ist ℝ, der $\text{kleinstmögliche Wertebereich}$  $W$ist 0 ; ∞ . Exponentialfunktionen haben also keine $\text{Nullstelle}$. Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade $y=0$ist die waagerechte $\text{Asymptote}$der Exponentialfunktion. Exponentialfunktionen mit $b$ $>$ $1$sind monoton steigend.Exponentialfunktionen mit $0<b$ $<$ $1$sind monoton fallend. Die Graphen der Exponentialfunktionen $y=b^x$und $y={\left(\frac{1}{b}\right)}^x=b^{-x}$sind zueinander symmetrisch bezüglich der y-Achse.

Du kennst die normale Exponentialfunktion mit $y=b^x$. Durch die Verwendung von $\text{Parametern}$kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren. Allgemein hat die Gleichung dann die Form: $y=a·b^x$ Der Parameter $a$wird auch Streckfaktor genannt, denn die $\text{Exponentialkurve}$der normalen Exponentialfunktion $y=b^x$wird gestreckt a > 1 oder gestaucht 0 < a < 1 . Ist $a$negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.Die Graphen der $\text{allgemeinen Exponentialfunktionen}$enthalten die Punkte 0 | a und 1 | b · a . Für $a$ $>$ $0$ist der $\text{kleinstmögliche Wertebereich}$  $W=\left]0;\infty \right[$, für $a$ $<$ $0$ist $W=\left]-\infty ;0\right[$. Die Graphen haben also keine $\text{Nullstellen}$. Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade $y=0$ist die waagerechte $\text{Asymptote}$der Exponentialfunktion.

In der Funktionsgleichung $y=a·b^x+d$bewirkt der Parameter $d$eine Verschiebung des Funktionsgraphen der $\text{allgemeinen Exponentialfunktion}$  $y=a·b^x$in y-Richtung. Für $d$ $>$ $0$erfolgt die Verschiebung nach oben, für $d$ $<$ $0$nach unten. Durch die Verschiebung ändert sich im Fall $a$ $>$ $0$der Wertebereich $W$zu d ; ∞ . Die Asymptote wird verschoben nach $y=d$. Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.

In der Funktionsgleichung $y=a·b^{x+c}$bewirkt der Parameter $c$eine Verschiebung der $\text{Exponentialkurve}$  $y=a·b^x$in x-Richtung. Für $c$ $>$ $0$erfolgt die Verschiebung nach links, für $c$ $<$ $0$nach rechts. Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich $W$nicht.

Funktionen der Form $y=a·b^{x+c}$sind auch $\text{allgemeine Exponentialfunktionen}$, denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden. Für $y=a·b^x$mit $b$ $>$ $1$entspricht die Verschiebung um $c$Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor $b^c$, denn $a·b^{x+c}=a·b^x·b^c$. Die Verschiebung um $c$Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor ${\left(\frac{1}{b}\right)}^c$, denn $a·b^{x-c}=a·b^x·b^{-c}=a·b^x·{\left(\frac{1}{b}\right)}^c$.