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Wachstum und Rekursion

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Hier erfährst du, wie du Rekursionsformeln für exponentielles und lineares Wachstum aufstellen kannst und wie du mit diesen Formeln rechnest.

Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich

Die explizite Formel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe abhängig von der Anzahl n der Schritte berechnet wird.
Die Rekursionsformel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe in einem bestimmten Schritt aus dem Wert der Größe im vorherigen Schritt berechnet wird.
Lineare Zu- oder Abnahme
Die Größe G ändert sich in jedem Schritt um den Wert c.
Ist c > 0 nimmt die Größe zu.
Ist c < 0 nimmt die Größe ab.
Rekursionsformel: G n + 1 = G n + c
Explizite Formel: G n = G 0 + c n
Emma hat jetzt eine durchschnittliche Haarlänge von 30 cm . Emmas Haare wachsen (linear) pro Monat 1.2 cm .
Rekursionsformel: H 0 = 30   H n + 1 = H n + 1.2
Explizite Formel: H n = 30 + 1.2 n
Exponentielle Zu- oder Abnahme
Die Größe G mit dem Startwert G 0 ändert sich in jedem Schritt mit dem Faktor b .
Ist der Faktor b > 1, nimmt die Größe zu.
Gilt für den Faktor 0 < b < 1, nimmt die Größe ab.
Rekursionsformel: G n + 1 = b · G n
Explizite Formel: G n = G 0 · b n
Eine bestimmte Art von Krebszellen teilt sich unter Laborbedingungen stündlich. Zu Beginn befinden sich 45 dieser Zellen in der Petrischale.
Rekursionsformel: Z 0 = 45   Z n + 1 = 2 · Z n
Explizite Formel: Z n = 45 · 2 n

überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum

Rekursionsformel: G n + 1 = b · G n + c
Die explizite Formel ist im Vergleich zur Rekursionsformel viel komplizierter:
Explizite Formel: G n = G 0 · b n + c · b n - 1 b - 1
Herr Wagner hat mit seiner Bank einen Ratensparplan mit einem Zinssatz von 3 % p.a. und Zinseszins vereinbart.
Er eröffnet das Konto mit 500 € und zahlt dann zu Beginn eines jeden Sparjahres weitere 100 € ein.
Rekursionsformel: K 0 = 500   K n + 1 = 1.03 · K n + 100
Explizite Formel: K n = 500 · 1.03 n + 100 · 1.03 n - 1 1.03 - 1