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rationale Zahlen

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Zwischenwert

Unter einem Zwischenwert der Elemente a und b, a

additive Gruppe

Eine additive Gruppe ist eine ->Gruppe, bei der die Verknüpfung als "+" geschrieben wird. Sie wird meist nur betrachtet, wenn gleichzeitig auch eine multiplikative Gruppe mit dem Verknüpfungszeichen "?" betrachtet wird. Beispiel: Die Menge der rationalen Zahlen, \mathbb{Q}, ist mit der Addition eine additive Gruppe, die Teilmenge \mathbb{Q} \setminus \left \{ 0 \right \} ist mit der Multiplikation eine multiplikative Gruppe.   

Potenzrechenregeln

Für rationale Zahlen a und b mit b ≠ 0 und natürliche Zahlen n und m gilt: (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}, a^{n}\cdot a^{m}=a^{n++m}, \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}} und (a^{n})^{m}=a^{n\cdot m} Man setzt a^{0}=1, a^{1}=a, b^{-n}=\frac{1}{b^{n}} und a^{\frac{m}{n}}=\sqrt{a^{m}}.

Q

Die Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q}=\left \{ x=\frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb{Z}\wedge b\neq 0\right \}.

unendliche Gruppe

Eine Gruppe mit unendlich vielen Elementen. Die Mengen der ganzen, der rationalen oder der reellen Zahlen bilden mit der Addition jeweils eine unendliche Gruppe.

Zahlbereichserweiterung

Zahlbereichserweiterungen sind nötig, wenn bestimmte Rechenoperationen in einem Zahlenbereich nicht mehr durchführbar sind: Während im Bereich der natürlichen Zahlen \mathbb{N} die Addition stets möglich ist, ist die Subtraktion nur im erweiterten Zahlbereich der ganzen Zahlen uneingeschränkt ausführbar. Während die Multiplikation im Bereich der ganzen Zahlen \mathbb{Z} stets durchführbar ist, muss dieser Zahlbereich für die Division zur Menge \mathbb{Q} der rationalen Zahlen (Menge aller Brüche) erweitert werden. Längenmessungen an geometrischen Figuren (Umfang eines Kreises, Diagonale in einem Quadrat) führen auf irrationale Zahlen, die der Menge der reellen Zahlen angehören.

Zahlbereiche

Als Zahlbereiche werden beispielsweise die Menge der natürlichen Zahlen, die der ganzen Zahlen, die der rationalen Zahlen, die der reellen Zahlen oder die der komplexen Zahlen bezeichnet.


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