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Konvergenz

Eine Folge konvergiert, wenn sie einen ->Grenzwert besitzt.

Partialsumme

Gegeben sei eine Folge a_{k}. Dann heißt die Zahl s_{k}=\sum_{i=1}^{k}a_{i} die k-te Partialsumme der unendlichen Reihe \sum_{i=1}^{\infty }a_{i}. Die Reihe konvergiert (divergiert), falls die Folge s_{k} der Partialsummen konvergiert (divergiert).

regelmäßiger Kettenbruch

Ein regelmäßiger Kettenbruch hat die Form a_{0}++\frac{1}{a_{1}++\frac{1}{a_{2}++\frac{1}{a_{3}++...}}} a_{0} : ganze Zahl, a_{i} : positive ganze Zahlen. Ein regelmäßiger Kettenbruch ist stets konvergent. Jede reelle Zahl ist genau auf eine Weise als regelmäßiger Kettenbruch darstellbar.

unendliche Reihe

Eine unendliche Reihe ist eine Reihe mit unendlich vielen Summanden: \sum_{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}++a_{2}++... . Falls die Folge s_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i} einen Grenzwert s besitzt, wird dieser die Summe der unendlichen Reihe genannt. Die Reihe heißt dann konvergent.

Wurzelkriterium

Die unendliche Reihe \sum a_{k} mit nur positiven Gliedern a_k konvergiert, wenn für fast alle k gilt: \sqrt{a_k}\leq q< 1, sie divergiert, wenn für fast alle k gilt \sqrt{a_k}\geq 1.

Reihe (unendliche)

Ist a_{n} eine Folge, so nennt man die Folge s_{n} der Partialsummen s_{n}=\sum_{m=1}^{n}a_{m} die zur Folge gehörende Reihe. Die Reihe heißt konvergent, falls die Folge s_{n} einen Grenzwert besitzt, andernfalls divergent. Beispiele: Die geometrische Reihe \sum_{m=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{m} konvergiert und hat den Grenzwert 1. Die harmonische Reihe \sum_{m=1}^{\infty } \frac{1}{m} divergiert.


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