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Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten

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Potenzen mit rationalen Exponenten
Potenzgesetze
Berechnen von Potenzen mit rationalem Exponenten
Rechnen mit Wurzeln
Rationalmachen des Nenners

Potenzen mit rationalen Exponenten

Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen

m

n

\geq

2

wird vereinbart:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

und

a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}

Für positive Exponenten darf auch

a = 0

sein:

0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0^{m}} = 0

Du kannst jede

Wurzel als Potenz

mit rationalem

Exponenten

und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben.

\sqrt[4]{5^{3}} = 5^{\frac{3}{4}}

5^{- \frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{5^{3}}}

Insbesondere lassen sich damit

n-te Wurzeln

als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben.

\sqrt[4]{81} = 81^{\frac{1}{4}}

Potenzgesetze

Potenzen mit gleicher Basis

Für rationale Zahlen r und s und eine positive reelle Zahl a gilt:

a^{r} * a^{s} = a^{r + s}

und

\frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r - s}

Für positive Exponenten darf beim Multiplizieren auch

a = 0

sein:

0^{r} * 0^{s} = 0^{r + s} = 0

Die Division durch 0 ist jedoch nicht möglich.

7^{\frac{1}{2}} * 7^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{7^{3}}

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_1.jpg

Potenzen mit gleichem Exponenten

Für eine rationale Zahl r und positive reelle Zahlen a und b gilt:

a^{r} * b^{r} = {(a b)}^{r}

und

\frac{a^{r}}{b^{r}} = {(\frac{a}{b})}^{r}

5^{\frac{3}{4}} * 7^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{35^{3}}

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_2.jpg

Potenzen von Potenzen

Für rationale Zahlen r und s und eine positive reelle Zahl a gilt:

{(a^{r})}^{s} = a^{r * s}

{(4^{\frac{4}{5}})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[5]{4^{2}}

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_3.jpg

Berechnen von Potenzen mit rationalem Exponenten

Auf Grund der

Potenzgesetze

ist es bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten egal, ob du erst

potenzierst

und dann die

Wurzel ziehst

oder umgekehrt.

Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen

m

n

\geq

2

gilt:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}

8^{\frac{2}{3}}

ist die 3. Wurzel aus der 2. Potenz von 8.

oder

8^{\frac{2}{3}}

ist die 2. Potenz der 3. Wurzel aus 8.

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_4.jpg

oder

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_5.jpg

Auch bei negativen Exponenten gibt es entsprechende Formulierungen.

Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen

m

n

\geq

2

gilt:

a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}} = \sqrt[n]{a^{- m}}

\sqrt[5]{3^{-2}} = 3^{- \frac{2}{5}}

Rechnen mit Wurzeln

Mit Hilfe der

Potenzgesetze

lassen sich auch die Rechenregeln für

Wurzeln

herleiten.

\sqrt[2]{7} * \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{7^{3}}

Du schreibst die Wurzeln als Potenzen und wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleicher Basis an.

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_6.jpg

\sqrt[4]{5^{3}} * \sqrt[4]{7^{3}} = \sqrt[4]{35^{3}}

Du schreibst die Wurzeln als Potenzen und wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleichen Exponenten an.

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_7.jpg

\sqrt[2]{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[10]{3}

Du schreibst die Wurzeln als Potenzen und wendest das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen an.

/wp-content/uploads/media/kem_T_PGrExrEx_8.jpg

Rationalmachen des Nenners

Wurzeln im Nenner lassen sich durch geschicktes Erweitern vermeiden. Hierzu schreibst du die Wurzel als Potenz und erweiterst anschließend den Bruch so, dass der Exponent im Nenner ganzzahlig wird.

\frac{1}{\sqrt[5]{3}} = \frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{3}

Als Erweiterungsfaktor wählst du die Potenz von 3, die multipliziert mit dem Nenner

3^{\frac{1}{5}}

die rationale Zahl

3^{1} = 3

ergibt:

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