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Partialbruchzerlegung

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Hat die quadratische Gleichung x² + ax + b = 0 zwei verschiedene Lösungen \(x_{1}\) und \(x_{2}\), so lässt sich der Bruchterm \(\frac{1}{x^{2}++ax++b}\) zerlegen in \(\frac{1}{x^{2}++ax++b}=\frac{A}{x-x_{1}}++\frac{B}{x-x_{2}}\) mit Konstanten A und B, die man durch ->Koeffizientenvergleich bestimmen kann.
Beispiel: Da x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) gilt, kannst du \(\frac{1}{x^{2}++8x++15}=\frac{A}{x++5}++\frac{B}{x++3}\) ansetzen. Bringst du die Bruchterme der rechten Seite auf den Hauptnenner, so wird der Zähler (x + 3)A + (x + 5)B = 1. Umstellen ergibt x(A + B) + (3A + 5B) = 1 und durch Koeffizientenvergleich:
A + B = 0 oder B = -A und 3A + 5B = 1 oder 3A – 5A = 1 -> A = \(-\frac{1}{2}\) und B = \(\frac{1}{2}\)
Und damit die Zerlegung
\(\frac{1}{x^{2}++8x++15}=\frac{-\frac{1}{2}}{x++5}++\frac{\frac{1}{2}}{x++3}\)
Die Partialbruchzerlegung erlaubt es, die ->Stammfunktionen gebrochen-rationaler Funktionen zu ermitteln.


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