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Lösen von Ungleichungen

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Hier erfährst du, wie du Ungleichungen systematisch mit Hilfe von äquivalenzumformungen lösen und wie du überprüfen kannst, ob die Lösung richtig ist.

Ungleichungen lösen durch äquivalenzumformungen

Durch äquivalenzumformungen kannst du Ungleichungen verändern, ohne deren Lösungsmenge zu ändern.Man sagt dann, dass die Variable durch diese Umformungen isoliert wird, bzw. die Ungleichung nach der Variablen „aufgelöst“ wird.Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Ungleichung nicht, sind also äquivalenzumformungen:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULULvU_1.jpg
Jede Termvereinfachung auf beiden Seiten, wie zum Beispiel Klammern auflösen oder Zusammenfassen gleichartiger Terme, ändert die Lösungsmenge der Ungleichung nicht.Auf die Multiplikation mit einer negativen Zahl wird im Kapitel 3 eingegangen.
Welche äquivalenzumformung wurde hier durchgeführt?/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULULvU_2.jpg
Umformungsschritt angeben
Auf beiden Seiten hat sich der Term mit x verändert. Auf der linken Seite wurde aus dem Term 4x der Term 2x und auf der rechten Seite fehlt der Term 2x. Die Terme ohne x sind unverändert.
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULULvU_3.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULULvU_4.jpg
Löse die Ungleichung mit Hilfe von äquivalenzumformungen. 3 + 4 x + 1 > 2 x + 5
Ungleichung äquivalent umformen
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULULvU_5.jpg

Angabe der Lösungsmenge

Bei der Angabe der Lösungsmenge musst du beachten, in welcher Grundmenge die Ungleichung zu lösen ist.
Die Ungleichung 9 + 4x > 2x + 5 soll in der Menge der natürlichen Zahlen ℕ gelöst werden.
Ungleichung lösen
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Lösungsmenge angeben
Obwohl die Lösung x > -2 auch negative Zahlen einschließt, dürfen sie bei der Angabe der Lösungsmenge nicht berücksichtigt werden, da als Grundmenge die natürlichen Zahlen vorgegeben sind.Da alle natürlichen Zahlen größer sind als -2 , ist die Lösungsmenge die gesamte Menge der natürlichen Zahlen.
L =
Bei einer Ungleichung, die in der Menge der rationalen Zahlen ℚ gelöst werden soll, erhältst du als Lösung x > 3.Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten, die Lösungsmenge anzugeben.
Möglichkeit 1
Man liest: L ist die Menge aller x aus ℚ mit x > 3.
L = {x ∈ℚ | x > 3}
Möglichkeit 2
Man liest: L ist die Menge aller x > 3 mit x aus ℚ.
L = {x > 3 | x ∈ℚ}

Ungleichungen mit negativen Zahlen multiplizieren

Das Lösen von Ungleichungen mit Hilfe von äquivalenzumformungen erfolgt, bis auf eine Ausnahme, nach den selben Regeln wie bei Gleichungen:Bei der Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer negativen Zahl musst du beachten, dass sich das Relationszeichen umkehrt.
Es gilt 1 < 3/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULULvU_7.jpg
Multiplikation mit -1
An der Zahlengeraden ist deutlich zu erkennen, was die Multiplikation mit einer negativen Zahl bewirkt, sie ist gleichzusetzen mit einer Spiegelung an der Null.
1 < 3 | •(-1)
  1 · -1 = -1  
  3 · -1 = -3 -1 > -3
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