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Lösen linearer Gleichungssysteme mit drei Variablen

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Hier erfährst du, wie du Gleichungssysteme mit drei Variablen systematisch in Dreiecksgestalt bringst, um sie zu lösen.

Lineare Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt lösen

Ein lineares Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn es aus mindestens so vielen Gleichungen besteht wie Variablen darin enthalten sind. Aber auch in diesem Fall ist die eindeutige Lösbarkeit nicht immer gegeben.

Wenn ein Dreieckssystem allerdings in Dreiecksgestalt gegeben ist, dann lässt es sich schrittweise durch Einsetzen lösen.

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_1.jpg

Die Form des Gleichungssystems entspricht einem Dreieck, da von der ersten zur letzten Gleichung jeweils eine Variable weniger in der Gleichung steht.
Löse das Gleichungssystem:

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_2.jpg

Gleichungssystem lösen
In Gleichung III gibt es nur die Variable

z

. Du löst nach

z

auf:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_3.jpg

Den Wert setzt du für

z

in Gleichung II so ein, dass diese Gleichung nur noch die Variable

y

enthält:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_4.jpg

Die Lösungen für

z

und

y

setzt du in Gleichung I so ein, dass diese Gleichung nur noch die Variable

x

enthält:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_5.jpg

Du erhältst die Lösung

x

=1,

y

=2 und

z

=3 für das lineare Gleichungssystem.

L = { 1 ; 2 ; 3 }

Allgemeines lineares Gleichungssystem mit drei Variablen lösen

Wenn ein lösbares Gleichungssystem nicht in Dreiecksgestalt gegeben ist, kannst du es durch äquivalenzumformungen und Addition oder Subtraktion von Gleichungen in Dreiecksgestalt bringen.

Ziel ist es, Variablen so zu eliminieren (zu entfernen), dass du eine Gleichung mit nur einer Variablen, eine weitere Gleichung mit zwei Variablen und schließlich eine dritte mit allen drei Variablen erhältst.

Dieses Vorgehen wurde vom Mathematiker Carl Friedrich Gauß entwickelt und wird deshalb Gaußsches Eliminationsverfahren oder Gauß-Algorithmus genannt.

Löse das Gleichungssystem:

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_6.jpg

Dreiecksform erzeugen
In den Gleichungen I und II ist der Koeffizient von

x

jeweils 1. Eine Gleichung ohne

x

ergibt sich, indem du Gleichung I mit -1 multiplizierst und das Ergebnis zu Gleichung II addierst./wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_7.jpg

Die ersten beiden Gleichungen passen schon in die Dreiecksgestalt.

Du erstellst aus Gleichung I und III eine weitere Gleichung ohne die Variable

x

, indem du Gleichung I mit -2 multiplizierst und das Ergebnis zu Gleichung III addierst. Gleichung III wird durch die neue Gleichung III' (= III + (-2)I) ersetzt:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_8.jpg

Die Gleichungen II'' und III' enthalten nur noch zwei Variablen. Du multiplizierst Gleichung II'' mit (-3) und addierst die Gleichung zu III'. Du erhältst Gleichung III'' (=III'+(-3)II''), die nur noch die Variable

z

enthält.

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_9.jpg
Gleichungssystem lösen
Das Gleichungssystem ist in Dreiecksgestalt:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_10.jpg

Du löst das Gleichungssystem bei Gleichung III'' beginnend schrittweise durch Einsetzen und Umstellen und berechnest die Lösung.

L = { 4 ; 5 ; 6 }

Löse das Gleichungssystem:

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_11.jpg

Gleichungssystem lösen
Die Koeffizienten von

x

in Gleichung I und II sind verschieden. Du multiplizierst Gleichung I mit 3 und addierst das Ergebnis zu Gleichung II. Es entfällt die Variable

x

:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_12.jpg

Du multiplizierst Gleichung III mit 2 und Gleichung I mit 3 und addierst die Ergebnisse. So bekommst du eine weitere Gleichung (III') ohne die Variable

x

:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_13.jpg

Da die Koeffizienten von

y

in den Gleichungen II' und III' bereits Gegenzahlen voneinander sind, erhältst du durch Addition von Gleichung II' und III' eine Gleichung, in der nur noch die Variable

z

vorkommt. Das Gleichungssystem ist nun in Dreiecksgestalt:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSdV_14.jpg

Du löst das Gleichungssystem bei Gleichung III'' beginnend schrittweise durch Einsetzen und Umstellen und berechnest die Lösung.

L = { 2 ; 2 ; 1 }


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