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Kettenregel

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Die Kettenregel erlaubt das Ableiten verketteter Funktionen. Für die Ableitung der Verkettung \(h(x) = g(f(x))\) der differenzierbaren Funktionen g und f gilt:

\(h^\prime (x) = g^\prime (f(x)) \cdot f^\prime (x)\)

Beispiele:

1.  \(f(x) = 3x^{3} + 4\) und \(g(x)= \sqrt x\) , dann ist \(h(x)=g(f(x))= \sqrt {3x^3+4}\) und mit \(f^\prime (x) = 9x^2 \)

     und \(g^\prime (x) = \frac 1 {2 \sqrt x}\) folgt:

     \(h^\prime (x) = \frac {9x^2} {2 \sqrt {3x^3+4}}\).

2.  \(v(x)=\sqrt{x}\), dann ist \(v(f(x))=\sqrt{3x^{3}+4}\), eine nicht direkt ableitbare Funktionsgleichung.

     Allgemein gilt: Gegeben sei v(u) und u(x) dann ist f(x) = v(u(x)) eine "verkettete Funktion" und es gilt:

     \(f^\prime(x)=u^\prime(v(x))\cdot v^\prime(x)\) lässt sich die Funktion ableiten.

     Man merkt sich dies mit "Äußerer Ableitung mal innerer Ableitung?.

     Sei \(u(x)=\sqrt{x}\) und \(v(x)=x^{3}+4\), dann ist \(f(x)=\sqrt{x^{3}+4}\) und

     \(f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{3}+4}}\cdot 3x^{2}\)

                         äußere        innere Ableitung


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