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Indirekter Beweis

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Um etwas indirekt zu beweisen, benutze ich eine (falsche) Annahme und rechne solange, bis ich zu einem Widerspruch komme. Ich muss die Annahme verwerfen und habe damit das Gegenteil bewiesen.

Beispiel: \( sqrt{2} \) ist irrational.

Annahme (die widerlegt werden soll) : \( sqrt{2} \) ist rational , also \( sqrt{2} = frac{b}{a} \) , a und b teilerfremde ganze Zahlen.
\(sqrt{2}=frac{b}{a}Rightarrow 2a^{2}=b^{2}\) . Die Zahl \(2a^{2}\) ist gerade, also ist auch \(b^{2}\) gerade. Dann muss bereits b gerade sein, denn "ungerade mal ungerade ist ungerade?. Die Primfaktorzerlegung von b enthält also 2 und die von \(b^{2}\) dann 4. Dann ist auch \(a^{2}\) und folglich a gerade, im Widerspruch zur Annahme, dass a und b teilerfremd sind.
Daraus folgt: \( sqrt{2} \) ist keine rationale Zahl.

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