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Grundlagen zu Ungleichungen

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Hier erfährst du, wie du aus Grafiken und Textaufgaben Ungleichungen erkennen und aufstellen kannst.

Was ist eine Ungleichung?
Ungleichungen mit einer Variablen am Waagemodell
Ungleichungen in Sachzusammenhängen
Ungleichungen an der Zahlengeraden

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Relationszeichen (< „ist kleiner als“, > “ist größer als“) miteinander verbunden sind. Oft verwendet man auch ≤ oder ≥ für „ist kleiner als oder gleich“ und „ist größer als oder gleich“.

Beispiele für Ungleichungen

2 x - 1

gt

3

2 (x + 1)

lt

3 x - 4

x ≤ 3

3 + 5

gt

2 * 3

Auch das ist eine Ungleichung. Auf der linken Seite der Gleichung werden zwei Zahlen addiert, auf der rechten Seite werden zwei Zahlen multipliziert. Das Ergebnis der Addition (die Summe) ist größer als das Ergebnis der Multiplikation (dem Produkt), denn

3 + 5 = 8

und

2 * 3 = 6

.Die Ungleichung ist also WAHR.

7 ≥ 3 + 5

Hier handelt es sich zwar um eine Ungleichung, denn zwei Terme (7 und 3 + 5) sind mit einem Relationszeichen verbunden, aber die Aussage der Ungleichung ist FALSCH, denn 7 < 3 + 5

Ungleichungen mit einer Variablen am Waagemodell

Ungleichungen können am Waagemodell dargestellt werden. Die beiden Waagschalen symbolisieren dabei die beiden Seiten der Ungleichung. Gesucht sind dann alle Zahlen für x, für die die Waage ihre Lage beibehält.

Welche Ungleichung beschreibt die Situation an der Waage? /wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULUErkAuf_1.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULUErkAuf_2.jpg

Gleichung erkennen

Die Waage ist im Ungleichgewicht, die linke Seite ist schwerer als die rechte Seite.Du kannst für jede Seite der Waage jeweils einen Term aufstellen.Linke Seite: Du siehst dreimal ein x und zweimal eine 1, das ergibt den Term:

3

x

+

2

Rechte Seite: Du siehst zweimal ein x und viermal eine 1, das ergibt den Term:

2

x

+

4

Da die linke Seite schwerer ist, wählst du das Relationszeichen „ist größer als“ (>).

Ungleichungen in Sachzusammenhängen

Um Ungleichungen zu beschreiben, gibt es typische Formulierungen, an denen du erkennen kannst, welches Relationszeichen beim Aufstellen der Ungleichung zu verwenden ist.

Beschreibe die Aussagen durch Ungleichungen.

•Zum Erreichen der Note 1 sind mindestens 20 Punkte nötig.•Wer die Note 2 oder besser haben möchte, braucht mehr als 15 Punkte.•In der Klassenarbeit können maximal 22 Punkte erreicht werden.

Ungleichungen erkennen

Anzahl der Punkte: x

•Zum Erreichen der Note 1 sind mindestens 20 Punkte nötig: x ≥ 20•Wer die Note 2 oder besser haben möchte, braucht mehr als 15 Punkte: x > 15•In der Klassenarbeit können maximal 22 Punkte erreicht werden: x ≤ 22

Beschreibe die Aussagen durch Ungleichungsketten.

•In der Klassenarbeit können maximal 22 Punkte erreicht werden und zum Erreichen der Note 1 sind mindestens20 Punkte nötig.•Wer die Note 2 in derselben Klassenarbeit haben möchte, braucht mehr als 15 Punkte.•In der Klassenarbeit können maximal 22 Punkte erreicht werden.

Ungleichungen erkennen

Um eine Zwei zu erreichen benötigt man mehr als 15 Punkte. Ab 20 Punkten bekommt man eine Eins. Also muss die Punktzahl für eine Zwei unterhalb von 20 Punkten liegen.

•15 < x < 20 (16, 17, 18 und 19 sind größer als 15 und kleiner als 20.)

Anzahl der Punkte: x

•In der Klassenarbeit können maximal 22 Punkte erreicht werden und zum Erreichen der Note 1 sind mindestens20 Punkte nötig: 20 ≤ x ≤ 22 •Wer die Note 2 in derselben Klassenarbeit haben möchte, braucht mehr als 15 Punkte: 15 < x < 20

Ungleichungen an der Zahlengeraden

Einfache Ungleichungen wie x < 5 oder 3 < x kannst du besonders anschaulich an der Zahlengeraden darstellen. Du markierst den Bereich des Zahlenstrahls, der die Ungleichung erfüllt.

Welche Ungleichung ist am Zahlenstrahl dargestellt? /wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULUErkAuf_4.jpg

Ungleichung erkennen

Markiert sind die Zahlen links von der 3. Das sind Zahlen, die kleiner als 3 sind. Bei der 3 siehst du die eckige Klammer „]“. Das bedeutet, dass die 3 auch zum markierten Bereich dazu gehört. Also ist eine Zahl x genau dann markiert, wenn sie x ≤ 3 erfüllt.

x ≤ 3

Markiere den durch die Ungleichungen vorgegebenen Bereich auf der Zahlengeraden.x > 2 und x < 7

Ungleichungen markieren

Markiert werden die Zahlen zwischen 2 und 7, denn das sind diejenigen Zahlen, die größer als 2 und kleiner als 7 sind.Bei der 2 setzt du die eckige Klammer „]“, bei der 7 die eckige Klammer „[“, denn weder 2 noch 7 gehören zum markierten Bereich dazu. Also ist eine Zahl x genau dann markiert, wenn sie x < 2 und x < 7 erfüllt.

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULUErkAuf_5.jpg

Markiere den durch die Ungleichungskette vorgegebenen Bereich auf der Zahlengeraden.-1 ≤ x < 5

Ungleichungskette aufstellen

Markiert werden die Zahlen zwischen -1 und 5. Das sind diejenigen Zahlen, die größer als -1 und kleiner als 5 sind.Bei -1 setzt du die eckige Klammer „[“, bei 5 die eckige Klammer „[“, denn -1 gehört zum markierten Bereich dazu, 5 aber nicht. Also ist eine Zahl x genau dann markiert, wenn sie x ≥ -1 und x < 5 erfüllt.

/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULUErkAuf_6.jpg

Welche Aussage beschreibt den am Zahlenstrahl rot markierten Bereich? /wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuULUErkAuf_7.jpg

Ungleichungen aufstellen

Beachte, dass eine Zahl nicht gleichzeitig kleiner als oder gleich -4 und größer als -1 sein kann. Es lässt sich also keine Ungleichungskette aufstellen, beide Bereiche werden durch jeweils eine Ungleichung beschrieben.

x < -4 oder x ≥ -1

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