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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

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In diesen Erklärungen erfährst du, wie du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen bestimmen kannst.

ggT und kgV

Gemeinsame Teiler von zwei Zahlen sind die Zahlen, die sowohl Teiler der einen als auch Teiler der anderen Zahl sind.Unter den gemeinsamen Teilern ist die größte Zahl der größtegemeinsameTeiler(ggT).
Gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen sind die Zahlen, die sowohl Vielfache der einen als auch Vielfache der anderen Zahl sind.
Unter den gemeinsamen Vielfachen ist die kleinste Zahl das kleinstegemeinsameVielfache(kgV).
Der größte gemeinsame Teiler ist immer größer oder gleich 1, weil 1 jede Zahl teilt. Ist er gleich 1, heißen die Zahlen teilerfremd .Das kleinste gemeinsame Vielfache ist immer kleiner oder gleich dem Produkt der Zahlen, weil das Produkt immer ein gemeinsames Vielfaches ist.
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 12 und 32.
ggT(12;32) = ___
ggT bestimmen
Du bestimmt die beiden Teilermengen:T(12) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }T(32) = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 }
Die gemeinsamen Teiler sind 1, 2 und 4, also ist 4 der größte gemeinsame Teiler 4.
ggT(12;32) = 4
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4.
kgV(3;4) = ___
kgV bestimmen
Du bestimmt die beiden Vielfachenmengen:V(3) = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 ; 27 ; 30 ; 33 ; 36 ; …}V(4) = { 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; …}
Die gemeinsamen Vielfachen sind 12, 24, 36,..., also ist das kleinste gemeinsame Vielfache 12.
kgV(3;4) = 12

ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung

Primfaktorzerlegungen können dir besonders bei großen Zahlen helfen, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu finden.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist das Produkt aller Primfaktoren, die in mindestens einer der Zerlegungen vorkommen, jeweils in ihrer höchsten Potenz.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren jeweils in ihrer kleinsten Potenz.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 330 und 324.
kgV(330;324) = ___
kgV bestimmen
Du zerlegst 330 und 324 in Primfaktoren: 330 = 2 * 3 * 5 * 11 = 2 * 3 * 5 * 11 324 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 = 2 2 * 3 4
Du musst immer die höchsten Potenzen der Primfaktoren miteinander multiplizieren: 2 2 * 3 4 * 5 * 11 = 17820
kgV(330;324) = 17820
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 660 und 2772.ggT(660;2772) = ___
ggT bestimmen
Du zerlegst 660 und 2772 in Primfaktoren:/wp-content/uploads/media/kem_TbuP_TbuPTuVggTukgV_1.jpg
Du erhältst den ggT, indem du die niedrigsten Potenzen gemeinsam vorhandener Primfaktoren multiplizierst: 2 * 2 * 3 * 11 = 132
ggT(660;2772) = 132
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Wenn du den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen miteinander multiplizierst, dann erhältst du das Produkt dieser beiden Zahlen.
kgV(12;15) * ggT(12;15) = 12 * 15
12 = 2 2 * 3 15 = 3 * 5 kgV(12;15) = 2 2 * 3 * 5 = 60 ggT(12;15) = 3
kgV(12;15) * ggT(12;15) = 2 2 * 3 * 5 * 3

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