Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme

Du setzt in die Gleichungen I und II für $x$ den Wert $8$ und für $y$ den Wert $2$ ein und überprüfst, ob sich für beide Gleichungen eine wahre Aussage ergibt. In diesem Beispiel entstehen aus beiden Gleichungen wahre Aussagen, also ist das Zahlenpaar ( $8$ ; $2$ ) eine Lösung des linearen Gleichungssystems:

Du setzt in die Gleichungen I und II für $x$ den Wert $4$ und für $y$ den Wert $2$ ein und überprüfst, ob sich für beide Gleichungen eine wahre Aussage ergibt. In diesem Beispiel entsteht nur bei der ersten Gleichung eine wahre Aussage. Die zweite Gleichung wird durch Einsetzen der Werte zu einer falschen Aussage. Somit ist das Zahlenpaar ( $4$ ; $2$ ) keine Lösung des linearen Gleichungssystems:

Zum Zeichnen der Geraden benötigst du zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Gerade I: Der y-Achsenabschnitt ist -3, du markierst also den Punkt ${\text{P}}_1\left(0|-3\right)$ . Einen weiteren Punkt erhältst du, wenn du z.B. $x=1$ einsetzt (du erhältst den Punkt ${\text{P}}_2\left(1|-1\right)$ ). Gerade II: Der y-Achsenabschnitt ist 6, du markierst also den Punkt ${\text{P}}_3\left(0|6\right)$ . Einen weiteren Punkt erhältst du, wenn du z.B. $x=1$ einsetzt (du erhältst den Punkt ${\text{P}}_4\left(1|5\right)$ ).

Dieses lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da sich die Geraden im Punkt $\text{S}\left(3|3\right)$ schneiden. Die Lösungsmenge L wird in geschweiften Klammern angegeben:L = { 3 ; 3 }

Zum Zeichnen der Geraden benötigst du zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Gerade I: Der y-Achsenabschnitt ist -1, du markierst also den Punkt ${\text{P}}_1$ (0|-1). Einen weiteren Punkt erhältst du, wenn du z.B. $x=1$ einsetzt (du erhältst den Punkt ${\text{P}}_2$ (1|1)). Gerade II: Der y-Achsenabschnitt ist 2, du markierst also den Punkt ${\text{P}}_3$ (0|2). Einen weiteren Punkt erhältst du, wenn du z.B. $x=1$ einsetzt (du erhältst den Punkt ${\text{P}}_4$ (1|4)).

Dieses lineare Gleichungssystem hat keine Lösung, da die Geraden parallel verlaufen. Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt. Die Lösungsmenge L ist leer:L = { }

Du stellst die Gleichungen jeweils nach $y$ um und erhältst damit zwei Geradengleichungen in Normalform:

Die beiden Geradengleichungen sind identisch. Die Geraden liegen also übereinander. Dieses lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da die Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben.

Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn die zugehörigen Geraden identisch sind. Das bedeutet, dass die beiden Geradengleichungen gleich sein müssen. Der y-Achsenabschnitt ist also -4.

Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Steigung der zugehörigen Geraden gleich ist und die y-Achsenabschnitte verschieden sind. Du bringst die Gleichung I in Normalform: Im nächsten Schritt dividierst du durch den gesuchten Koeffizienten von $y$ . Aus Gleichung II weißt du, dass der Koeffizient von $x$ in Gleichung I auch 3 betragen muss. Die 3 erhältst du, wenn du $-6$ durch $-2$ dividierst: