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Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

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Hier erfährst du, wie du mit dem Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst.

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Gleichsetzungsverfahren nutzen.
Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält.
Wenn bei beiden Gleichungen auf der einen Seite der Gleichung nur die gleiche Variable steht, kannst du die beiden Terme auf der anderen Seite der Gleichung gleichsetzen.
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_1.jpg
Terme gleichsetzen
Auf der linken Seite steht jeweils nur y . Du setzt die Terme 6 + 6 x und 2 x - 2 gleich.
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen ( x ).
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_2.jpg
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 6 + 6 x = 2 x - 2 nach x auf:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_3.jpg
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für x einen eindeutigen Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_4.jpg
Lösungen berechnen
Du hast x bereits im vorigen Schritt berechnet. Um y zu berechnen, setzt du x = -2 in eine der Ausgangsgleichungen ein:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_5.jpg
Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_6.jpg
x = -2 und y = -6
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = -2 und y = -6 .
Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar (x;y) = (-2;-6) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(-2;-6)} .
L = { -2 ; -6 }
Wenn bei beiden Gleichungen auf der einen Seite der Gleichung nur das gleiche Vielfache einer Variablen steht, kannst du die beiden Terme auf der anderen Seite der Gleichung gleichsetzen.
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_7.jpg
Terme gleichsetzen
Auf der linken Seite steht jeweils nur 3 x . Du setzt die Terme 7 + 2 y und -5 - 4 y gleich.
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_8.jpg
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 7 + 2 y = -5 - 4 y nach y auf:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_9.jpg
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutig bestimmten Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_10.jpg
Lösungen berechnen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = -2 in eine der Ausgangsgleichungen ein:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_11.jpg
Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis./wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_12.jpg
x = 1 und y = -2
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = 1 und y = -2 .
Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar x ; y = (1;-2) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(1;-2)} .
L = { 1 ; -2 }
Manchmal ist es nötig, eine der Gleichungen erst umzustellen.
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_13.jpg
Gleichung umstellen
Du stellst Gleichung I nach 4 x um. In Gleichung II steht der Term 4 x bereits allein auf der linken Seite.
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_14.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_15.jpg
Terme gleichsetzen
Du setzt die Terme 14 - 2 y und 4 y - 4 gleich.
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_16.jpg
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 14 - 2 y = 4 y - 4 nach y auf:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_17.jpg
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutig bestimmten Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_18.jpg
Lösungen berechnen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = 3 in eine der Ausgangsgleichungen ein:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_19.jpg
Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis./wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_20.jpg
x = 2 und y = 3
Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x = 2 und y = 3 .
Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar (x;y) = (2;3) . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = {(2;3)} .
L = { 2 ; 3 }

Anzahl der Lösungen

Bei linearen Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_21.jpg
keine Lösung
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_22.jpg
Gleichung umstellen
Du dividierst beide Seiten der Gleichung II durch 2:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_23.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_24.jpg
Terme gleichsetzen
Du setzt die Terme -5 y und -5 y - 10 gleich.
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_25.jpg
Anzahl der Lösungen bestimmen
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da eine falsche Aussage entsteht:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_26.jpg
Die Lösungsmenge ist leer: L={ }
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_27.jpg
unendlich viele Lösungen
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_28.jpg
Gleichung umstellen
Du stellst Gleichung II nach x um:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_29.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_30.jpg
Terme gleichsetzen
Du setzt die Terme 7 + 3 y und 7 + 3 y gleich.
Du erhältst eine neue Gleichung mit nur einer Variablen (y).
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_31.jpg
Anzahl der Lösungen bestimmen
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da beim Umstellen der Gleichung eine Aussage entsteht, die unabhängig von der Wahl von y stets wahr ist:/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_32.jpg
Für jeden y -Wert in ℚ erhältst du nach Einsetzen in die Gleichungen genau einen x -Wert bzw. für jeden x -Wert genau einen y -Wert.Durch Umstellen einer der beiden Ausgangsgleichungen erhältst du: y = 1 3 x - 7 3
Es ergibt sich folgende Lösungsmenge: L = { x ; 1 3 x - 7 3 | x ∈ ℚ}
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSGsv_33.jpg

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