Eigenschaften von Potenzfunktionen

Eine $\text{allgemeine Potenzfunktion}$f mit $\text{geradem}$Grad ist eine $\text{gerade}\text{Funktion}$. Es gilt $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$für alle reellen Zahlen x. Jeder Punkt x | f x wird bei Spiegelung an der y-Achse auf den Punkt - x | f x abgebildet. Der Graph ist also $\text{achsensymmetrisch}$bezüglich der y-Achse.

Eine $\text{allgemeine Potenzfunktion}$g mit $\text{ungeradem}$Grad ist eine $\text{ungerade}\text{Funktion}$. Es gilt $g\left(-x\right)=-g\left(x\right)$für alle reellen Zahlen x. Jeder Punkt x | g x wird bei $\text{Punktspiegelung}$am Koordinatenursprung auf den Punkt - x | - g x abgebildet. Der Graph ist also $\text{punktsymmetrisch}$mit dem Punkt 0 | 0 als $\text{Symmetriezentrum}$.

Eine $\text{allgemeine Potenzfunktion}$f mit geradem $\text{Grad}$ändert am Koordinatenursprung ihr Monotonieverhalten. Der Punkt 0 | 0 ist also ein Extrempunkt. Ist der Koeffizient positiv, so ist f $\text{monoton fallend}$für $x$ $<$ $0$und $\text{monoton wachsend}$für $x$ $>$ $0$. Dann ist der Punkt 0 | 0 ein $\text{Tiefpunkt}$des Graphen. Ist der Koeffizient negativ, so ist f monoton wachsend für $x$ $<$ $0$und monoton fallend für $x$ $>$ $0$. Dann ist der Punkt 0 | 0 ein $\text{Hochpunkt}$des Graphen.

Eine allgemeine Potenzfunktion mit ungeradem Grad ist durchgehend monoton wachsend oder monoton fallend. Ist der Koeffizient positiv, so ist sie monoton wachsend. Ist der Koeffizient negativ, so ist sie monoton fallend. Die Funktion hat keine $\text{Extremstellen}$.

Der Graph einer $\text{allgemeinen Potenzfunktion}$von $\text{ungeradem}$  $\text{Grad}$ändert am Koordinatenursprung sein Krümmungsverhalten. Ist der Koeffizient der allgemeinen Potenzfunktion positiv, so ist der Graph $\text{rechtsgekrümmt}$für $x$ $<$ $0$und $\text{linksgekrümmt}$für $x$ $>$ $0$. Ist der Koeffizient negativ, so ist der Graph linksgekrümmt für $x$ $<$ $0$und rechtsgekrümmt für $x$ $>$ $0$. Der Punkt 0 | 0 ist also ein $\text{Wendepunkt}$.

Der Graph einer allgemeinen Potenzfunktion von geradem Grad und positivem Koeffizienten ist überall linksgekrümmt. Bei einem negativem Koeffizienten ist er überall rechtsgekrümmt.