Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

Die Bezeichnung „Sinus“ ist lateinisch und bedeutet Bogen. Bewegst du einen Punkt P auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn und trägst zu jedem Drehwinkel $\alpha$ die y-Koordinate des Punktes P in ein Koordinatensystem ein, erhältst du den Graphen der Sinusfunktion sin: $\alpha$ $\sin \left(\alpha \right)$ Trägst du die x-Koordinate ein, erhältst du den Graphen der Kosinusfunktion cos: $\alpha$ $\cos \left(\alpha \right)$ Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden. Zu einem Winkel $\alpha$ (in Grad oder Bogenmaß) gehört dann ein Punkt $P$ auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten cos α | sin α und je ein Punkt auf den Graphen der Sinus- bzw. Kosinusfunktion: $\text{Q}\left(\alpha |\sin \left(\alpha \right)\right)$) und $\text{R}\left(\alpha |\cos \left(\alpha \right)\right)$.

Der Graph der Sinusfunktion lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.

Eigenschaften der Sinusfunktion Die Sinusfunktion Im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π gilt: die Sinusfunktion Der Graph hat im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π

Der Graph der Kosinusfunktion lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.

Eigenschaften der Kosinusfunktion Die Kosinusfunktion Im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π gilt: die Kosinusfunktion Der Graph hat im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π

Die Winkelfunktionen sind periodisch. Das heißt, die Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen. Eine periodische Funktion erkennst du am regelmäßigen Verlauf ihres Graphen.

$\text{Verschiebst}$ du den Graphen der Funktion $f$ um den Wert $a$ entlang der x-Achse nach rechts oder links, fällt der verschobene Graph mit dem ursprünglichen zusammen. Für die Winkelfunktionen ist die Periode $a=2\pi$. Für die Funktionswerte heißt das: Für alle reellen Zahlen x gilt: $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)$  $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)$.

Die Sinusfunktion ist eine $\text{ungerade Funktion}$, d.h., für alle reellen Zahlen x gilt:   $\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)$. Der Graph einer ungeraden Funktion ist $\text{punktsymmetrisch}$ zum $\text{Koordinatenursprung}\left(0|0\right)$.

Die Kosinusfunktion ist eine $\text{gerade Funktion}$, d.h., für alle reellen Zahlen x gilt:   $\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)$. Der Graph einer geraden Funktion ist $\text{symmetrisch}$ zur y-Achse.

Um trigonometrische Gleichungen wie z.B. $\sin \left(x\right)=a$ oder $\cos \left(x\right)=b$ zu lösen, kannst du die Symmetrien und die Periodizität der Winkelfunktionen nutzen. Denn, wenn du die Lösungen einer Gleichung im Intervall - π ; π kennst, kennst du alle Lösungen für den gesamten Definitionsbereich.