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Bayes'sche Regel

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Die Bayesche Regel wird in der Stochastik verwendet, wenn man bestimmte Einzelwahrscheinlichkeiten kennt und daraus eine totale Wahrscheinlichkeit berechnen will. Sind A und B Ereignisse mit \(P(A)> 0\) und \(P(\bar{A})> 0\), so gilt:

\(P_{B}(A)=\frac{P(A)}{P(A)\cdot P_{A}(B)+P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(B)}\cdot P_{A}(B)\)

Beispiel:

0,1 % der Bevölkerung sind TB-krank; Ein medizinischer Test für TBC-Erkennung zeigt in 95% aller positiven Fälle eine vorliegende Erkrankung an; bei Gesunden zeigt der Test in 4 % aller Fälle irrtümlich eine Erkrankung an. Eine Person reagiert auf den Test positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie auch tatsächlich TBC" A bedeutet:  ?die Person ist TBC-krank?; B bedeutet: "der Test ist positiv?. Gefragt ist nach \(P_{B}(A)\):

\(P_{B}(A)=\frac{0,001}{0,001\cdot 0,95+0,999\cdot 0,04}\cdot 0,95=0,023\)

Antwort:  Nur rund 2,3 % der Personen, die beim Test positiv reagieren, haben auch tatsächlich TBC.


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