Cantor, Georg
Name: Georg Cantor
Geboren: 1845 in Sankt Petersburg
Gestorben: 1918 in Halle (Saale)
Lehr-/Forschungsgebiete: Mengenlehre
Georg Cantor war ein deutscher Mathematiker, der von 1845 bis 1918 lebte. Seine größte mathematische Errungenschaft ist die Begründung der Mengenlehre. Er klassifizierte Mengen nach ihrer Mächtigkeit, insbesondere die unendlichen Mengen in abzählbar unendliche und überabzählbare. Mittels seines Diagonalisierungsverfahrens konnte er zeigen, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig der Menge der natürlichen Zahlen und damit abzählbar unendlich ist, während die unendliche Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Bei einigen seiner Kollegen stießen Cantors Theorien zunächst auf großen Widerspruch; später wurde er dafür mit der Sylvester-Medaille der Royal Society geehrt. Heute ist die Mengenlehre aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken.
Leben
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor wurde 1845 in Sankt Petersburg geboren. Er war das älteste von sechs Kindern. Als Cantor elf Jahre alt war, zog die Familie aufgrund des schlechten Gesundheitszustands des Vaters erst nach Wiesbaden und dann nach Frankfurt am Main. Nach einem sehr guten Schulabschluss studierte Georg zunächst in Zürich, dann in Göttingen und promovierte 1867 über Zahlentheorie in Berlin. Es unterrichteten ihn unter anderem Karl Weierstraß, Ernst Eduard Kummer und Leopold Kronecker. Nach der Promotion ging Cantor nach Halle und lehrte dort zunächst als Privatdozent, ab 1877 als ordentlicher Professor. Pläne nach Berlin zu gehen ließen sich nicht verwirklichen, da dort sein ehemaliger Lehrer Kronecker großen Einfluss hatte, der Cantors Mengentheorie ablehnend gegenüber stand. Ab 1884 war Cantor öfter wegen Depression in klinischer Behandlung. Cantor war maßgeblich an der Gründung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1890 beteiligt, die heute zu seinen Ehren die Cantor-Medaille vergibt. 1904 erhielt Cantor für sein mathematischer Werk die Sylvester-Medaille der Royal Society. 1913 wurde er emeritiert und verbrachte die folgenden Jahre des Kriegs in Armut. 1918 starb Cantor in einem Sanatorium in Halle.
Cantors Mengenlehre
Cantors größte mathematische Errungenschaft war die Begründung der Mengenlehre. Sie ist heute aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken, rief zu Cantors Zeiten allerdings großen Widerspruch hervor, unter anderem bei Cantors ehemaligem Lehrer Kronecker. Im Zentrum der Kritik stand Cantors Idee der transfiniten Zahlen, die im Zusammenhang mit seiner Mengenlehre auftauchten.
Ein Schlüsselbegriff in Cantors Mengenlehre ist der der Mächtigkeit, mit der die Vorstellung von der Anzahl der Elemente einer Menge von endlichen auf unendliche Mengen verallgemeinert wird. Mengen, deren Elemente sich bijektiv, das heißt eineindeutig zuordnen lassen, sind äquivalent oder gleichmächtig. Mit der Idee dieser Zuordnung konnte Cantor zeigen, dass „unendlich nicht gleich unendlich“ ist.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich (sie enthält unendlich viele Elemente, die sich selbst „durchnummerieren“). Jede andere Menge ist ebenfalls abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen hat, das heißt, wenn eine bijektive Abbildung zwischen dieser Menge und der Menge der natürlichen Zahlen existiert. Mittels seines ersten Diagonalarguments bewies Cantor, dass die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der algebraischen Zahlen ebenfalls abzählbar unendlich, also gleichmächtig wie die Menge der natürlichen Zahlen sind. Auch Teilmengen der natürlichen Zahlen wie etwa die Menge der Primzahlen können abzählbar unendlich sein. Dagegen gibt es auch unendliche Mengen, die nicht abzählbar, also überabzählbar sind. Mittels seines zweiten Diagonalarguments bewies Cantor, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist: die Menge der reellen Zahlen hat eine größere Mächtigkeit als die der natürlichen Zahlen, da keine bijektive Zuordnung zwischen den beiden existiert.
Weitere Elemente der Mengenlehre
Als Potenzmenge bezeichnet man die Menge aller Teilmengen einer Menge. Cantor bewies, dass sie stets eine größere Mächtigkeit hat als die Menge selbst (Satz von Cantor). Weitere Resultate Cantors im Kontext der Mengenlehre sind die Cantorschen Antinomien, die Cantorsche Paarungsfunktion und die Cantor-Menge. Letztere ist zugleich Prototyp eines Fraktals, für deren Theorie Cantor die Grundlagen schuf.
Die Kontinuumshypothese
Cantor stellte die Kontinuumshypothese auf, die besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Später wurde bewiesen, dass diese Aussage im Rahmen der Mengenlehre nicht entschieden werden kann.
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