Zufallsexperimente und Baumdiagramme

Zweimaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen Du kannst den Wahrscheinlichkeitsbaum zu folgendem Zufallsexperiment konstruieren:Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen.Ein passendes Baumdiagramm ist zum Beispiel:

$$ Jeder Zweig im Baumdiagramm entspricht einem Ergebnis eines der beiden Teilexperimente „Ziehen der ersten Kugel aus der Urne“ bzw. „Ziehen der zweiten Kugel aus der Urne „. Eine Zweigwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zum jeweiligen Zweig gehörige Ergebnis eintritt. Beim Ziehen der ersten Kugel sind die möglichen Ergebnisse , und . Beim ersten Ziehen kann jede Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit ( $\frac{1}{10}$) gezogen werden. Daher kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse , und mit Hilfe der Formel für Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen: Erste Ziehung Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{3}{10}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{6}{10}$= $\frac{3}{5}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{1}{10}$ Die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse , und für die zweite Ziehung sind nun abhängig vom Ausgang der ersten Ziehung. Je nachdem fehlt nun eine der Kugeln der Farbe , bzw. . Zweite Ziehung Falls die erste Ziehung lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{2}{9}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{6}{9}$= $\frac{2}{3}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{1}{9}$ Falls die erste Ziehung lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{3}{9}$= $\frac{1}{3}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{5}{9}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{1}{9}$ Falls die erste Ziehung lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{3}{9}$= $\frac{1}{3}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{6}{9}$= $\frac{2}{3}$  Nach dem Eintragen aller Zweigwahrscheinlichkeiten sieht der Wahrscheinlichkeitsbaum wie folgt aus:

Betrachte zum Beispiel den Wahrscheinlichkeitsbaum zum Experiment „Zweimaliges Ziehen einer Kugel aus der abgebildeten Urne ohne Zurücklegen“.

Pfade in einem Baumdiagramm und die zugehörigen Ergebnisse Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen. Im Baumdiagramm sind die Ergebnisse und zugehörigen Pfade zum Ereignis „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“ hervorgehoben.

Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen. Ein zugehöriger Wahrscheinlichkeitsbaum ist angegeben: Du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“, indem du zuerst die zum Ereignis E - „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“ - gehörigen Ergebnisse den entsprechenden Endknoten im Baum zuordnest:; ; ; Dann berechnest du für jedes zu E gehörige Ergebnis die Pfadwahrscheinlichkeit. Dabei wendest du die Produktregel für Pfadwahrscheinlichkeiten an: P() = $\frac{3}{10}·\frac{2}{3}=\frac{1}{5}$ P() = $\frac{3}{5}·\frac{1}{3}=\frac{1}{5}$ P() = $\frac{3}{5}·\frac{1}{9}=\frac{1}{15}$ P() = $\frac{1}{10}·\frac{2}{3}=\frac{1}{15}$ Diese Pfadwahrscheinlichkeiten schreibst du neben die zugehörigen Ergebnisse. Du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ("Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb"), indem du die Pfadwahrscheinlichkeiten der zu E gehörigen Ergebnisse addierst: