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Wachstum und Zerfall

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Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich

Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten - oft Zeitschritten - annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern.
Lineares Wachstum
Die Größe y ändert sich in jedem Schritt um den Betrag a /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_1.jpg Betrag der Differenz zweier aufeinander folgender y-Werte.
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_2.jpg/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_3.jpg
Exponentielles Wachstum
Die Größe y ändert sich in jedem Schritt mit dem Wachstumsfaktor b /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_4.jpg Quotient zweier aufeinander folgender y-Werte
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_5.jpg/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_6.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_7.jpg

Berechnungen zum exponentiellen Wachstum

Willst du die Werte einer exponentiell zu- oder abnehmenden Größe über mehrere Schritte hinweg berechnen, verwendest du Potenzen des Wachstumsfaktors b .
Hat die Größe den Anfangswert G 0 , dann gilt für den Wert G n (nach n Schritten):
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_8.jpg
Die Zahl der in einer Petrischale kultivierten Zellen verdoppelt sich stündlich.Bei einem Anfangswert von 46 Zellen befinden sich nach 3 Stunden 368 Zellen und nach 5 Stunden 1472 Zellen in der Schale.
G 0 = 46
Verdopplung pro Schritt /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_9.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_10.jpg
Umgekehrt kannst du den Anfangswert G 0 berechnen oder den Wachstumsfaktor b:
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_11.jpg

Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent

Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen:
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_12.jpg
Eine Zunahme um 25 % entspricht einem Wachstumsfaktor
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_13.jpg
Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um 25 % , dann sind es nach einer Stunde 250 Bakterien.
200 * 1.25 = 250
Eine Abnahme um 20 % entspricht einem Wachstumsfaktor
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_14.jpg
Eine Maschine mit einem Neuwert von 20000 hat bei einem jährlichen Wertverlust von 20 % nach einem Jahr einen Wert von 16000 .
20000 * 0.8 = 16000

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