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Wachstum und Zerfall

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Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich

Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten - oft Zeitschritten - annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern.
Lineares Wachstum

Die Größe y ändert sich in jedem Schritt um den Betrag a /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_1.jpg

Betrag

der

Differenz

zweier aufeinander folgender y-Werte.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_2.jpg/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_3.jpg

Exponentielles Wachstum

Die Größe y ändert sich in jedem Schritt mit dem Wachstumsfaktor b /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_4.jpg

Quotient

zweier aufeinander folgender y-Werte

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_5.jpg/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_6.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_7.jpg

Berechnungen zum exponentiellen Wachstum

Willst du die Werte einer exponentiell zu- oder abnehmenden Größe über mehrere Schritte hinweg berechnen, verwendest du

Potenzen

des

Wachstumsfaktors

b

.

Hat die Größe den Anfangswert

G 0

, dann gilt für den Wert

G n

(nach

n

Schritten):

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_8.jpg

Die Zahl der in einer Petrischale kultivierten Zellen verdoppelt sich stündlich.Bei einem Anfangswert von 46 Zellen befinden sich nach 3 Stunden 368 Zellen und nach 5 Stunden

1472

Zellen in der Schale.

G 0 = 46

Verdopplung pro Schritt /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_9.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_10.jpg

Umgekehrt kannst du den Anfangswert

G 0

berechnen oder den Wachstumsfaktor b:

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_11.jpg

Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent

Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen:

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_12.jpg

Eine Zunahme

um

25 %

entspricht einem Wachstumsfaktor

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_13.jpg

Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um

25 %

, dann sind es nach einer Stunde 250 Bakterien.

200 * 1.25 = 250

Eine Abnahme

um

20 %

entspricht einem Wachstumsfaktor

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_14.jpg

Eine Maschine mit einem Neuwert von

20000

hat bei einem jährlichen Wertverlust von

20 %

nach einem Jahr einen Wert von

16000

.

20000 * 0.8 = 16000


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