+49 30 300 2440 00
 – Mo bis Fr von 8:30 - 17 Uhr

Wachstum und Zerfall

Sind Sie Lehrerin oder Lehrer für Mathematik in den Jahrgangsstufen 4 bis 12/13?
bettermarks bietet über 200.000 adaptive Mathematik-Aufgaben, die sich von automatisch korrigieren. Ihre Schülerinnen und Schüler bekommen bei jedem Fehler eine personalisierte Rückmeldung und Sie erhalten Auswertungen zum Lernstand der Klasse.
Mehr erfahren

Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich

Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten - oft Zeitschritten - annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern.
Lineares Wachstum
Die Größe y ändert sich in jedem Schritt um den Betrag a /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_1.jpg Betrag der Differenz zweier aufeinander folgender y-Werte.
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_2.jpg/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_3.jpg
Exponentielles Wachstum
Die Größe y ändert sich in jedem Schritt mit dem Wachstumsfaktor b /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_4.jpg Quotient zweier aufeinander folgender y-Werte
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_5.jpg/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_6.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_7.jpg

Berechnungen zum exponentiellen Wachstum

Willst du die Werte einer exponentiell zu- oder abnehmenden Größe über mehrere Schritte hinweg berechnen, verwendest du Potenzen des Wachstumsfaktors   b .
Hat die Größe den Anfangswert G 0 , dann gilt für den Wert G n (nach n Schritten):
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_8.jpg
Die Zahl der in einer Petrischale kultivierten Zellen verdoppelt sich stündlich.Bei einem Anfangswert von 46 Zellen befinden sich nach 3 Stunden 368 Zellen und nach 5 Stunden 1472 Zellen in der Schale.
  G 0 = 46
Verdopplung pro Schritt /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_9.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_10.jpg
Umgekehrt kannst du den Anfangswert G 0 berechnen oder den Wachstumsfaktor b:
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_11.jpg

Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent

Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen:
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_12.jpg
Eine Zunahme um   25 % entspricht einem Wachstumsfaktor
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_13.jpg
Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um 25 % , dann sind es nach einer Stunde 250 Bakterien.
  200 · 1.25 = 250
Eine Abnahme um   20 % entspricht einem Wachstumsfaktor
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktWuZ_14.jpg
Eine Maschine mit einem Neuwert von 20000 € hat bei einem jährlichen Wertverlust von 20 % nach einem Jahr einen Wert von 16000 € .
  20000 · 0.8 = 16000