Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln

Zufallsexperimente werden zur mathematischen Beschreibung von Vorgängen verwendet, deren Ausgang nicht sicher vorhergesagt werden kann. Zum Beispiel kannst du beim Würfeln nicht vorher wissen, ob du eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 würfeln wirst. Wahrscheinlichkeiten sollen in diesen Fällen den Grad der Gewissheit für das Eintreten von Ereignissen messen und angeben. Dafür werden Zahlen $x$ mit $0$ $\le$ $x$ $\le$ $1$ verwendet und den Ereignissen zugeordnet: Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0, es tritt nie ein. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1, es tritt immer ein. Ereignisse mit anderen Wahrscheinlichkeiten treten manchmal, aber nicht immer ein.

$$ Ergebnismengen bestimmen $$ Bevor Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet werden können, muss geklärt sein, welche Ergebnismenge betrachtet wird. Wahrscheinlichkeiten werden nur Ereignissen zugeordnet, die zur Ergebnismenge gehören, d.h., die eine Teilmenge der Ergebnismenge sind. Dazu verwendest du den Buchstaben P (probability; engl. für Wahrscheinlichkeit). Häufig gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Ergebnismenge festzulegen. Abhängig von dem Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit du bestimmen möchtest, musst du sie geschickt wählen. In dieser Erklärung werden ausschließlich Experimente betrachtet, bei denen die Ergebnismenge endlich ist.

$$ Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen $$ Eine Ergebnismenge Ω zusammen mit einer Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten P für jedes mögliche Ereignis nennt man auch einen Wahrscheinlichkeitsraum. Die Ereignisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes werden häufig mit lateinischen Großbuchstaben benannt, meistens E.

Sind in einem Wahrscheinlichkeitsraum die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse bekannt, so können damit auch die Wahrscheinlichkeiten beliebiger zugehöriger Ereignisse berechnet werden.Umgekehrt können auch manchmal Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen aus Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen gefolgert werden. Diese Zusammenhänge werden in der sogenannten Summenregel zusammengefasst: Besteht ein Ereignis E = { ${\text{e}}_{\text{1}}$; ${\text{e}}_{\text{2}}$, ... ; ${\text{e}}_{\text{n}}$} aus den paarweise verschiedenen Ergebnissen ${\text{e}}_{\text{1}}$, ${\text{e}}_{\text{2}}$, ... , ${\text{e}}_{\text{n}}$, dann entspricht die Wahrscheinlichkeit von E der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse: P(E) = P({ ${\text{e}}_{\text{1}}$}) + P({ ${\text{e}}_{\text{2}}$}) + … + P({ ${\text{e}}_{\text{n}}$}).

$$ Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $$Zu jedem Ereignis E eines Wahrscheinlichkeitsraumes gibt es ein Gegenereignis $\stackrel{\_}{\text{E}}$. Dieses enthält genau die Ergebnisse, die nicht in E enthalten sind.Sind zum Beispiel Ω = {a; b; c; d; e} und E = {a; b; c}, dann ist $\stackrel{\_}{\text{E}}$ = {d; e}. Für die Summe der Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses E und seines Gegenereignisses $\stackrel{\_}{\text{E}}$ gilt also

$$ Anwendung der Summenregel $$ Ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bekannt, das zum Beispiel aus zwei Ergebnissen besteht, und ist die Wahrscheinlichkeit für eines der Ergebnisse ebenfalls bekannt, so kann daraus auch auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ergebnisses geschlossen werden.

Ein Zufallsexperiment eines Wahrscheinlichkeitsraumes mit Ergebnismenge Ω wird als Laplace-Experiment bezeichnet, falls jedes Ergebnis a ∈ Ω gleich wahrscheinlich ist. Erkennen kannst du Laplace-Experimente meistens an vorliegenden Symmetrien, zum Beispiel der Form eines geworfenen Gegenstandes (Würfel, Münze) oder der Anordnung von Gewinnfeldern wie auf einem Roulette-Rad.

$$ Laplace-Wahrscheinlichkeiten bestimmen $$ Aus der Bedingung, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich sein muss, folgt zusammen mit der allgemein geltenden Summenregel eine Regel, mit der sich Laplace-Wahrscheinlichkeiten oft leicht berechnen lassen. Ist in einem Laplace-Experiment zum Beispiel Ω = {1; 2; 4; 6; 8} die Ergebnismenge, so muss jedes Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{5}$ eintreten. Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E = {4; 6} folgt dann: P(E) = P({4}) + P({6}) = $\frac{1}{5}$+ $\frac{1}{5}$= $\frac{2}{5}$= $\frac{\text{|E|}}{\text{|Ω|}}$ Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, muss in Laplace-Experimenten lediglich das Verhältnis der Anzahl der enthaltenen Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Ergebnisse bestimmt werden.

Formel:In einem Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E: P(E) = $\frac{\text{Anzahl der für das Ereignis E günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$= $\frac{\text{|E|}}{\text{|Ω|}}$

$$ Wenn du eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in einem Experiment bestimmen möchtest, das in einer Textaufgabe beschrieben wird, musst du zunächst feststellen was die Ergebnismenge ist oder wie du sie wählen kannst und ob damit ein Laplace-Experiment vorliegt oder nicht.

Die relative Häufigkeit einer Eigenschaft bei Beobachtungen gibt das Verhältnis aus der Anzahl der Beobachtungen mit dieser Eigenschaft zur Gesamtanzahl aller Beobachtungen an. Sie beschreibt also einen Anteil, der mindestens 0 und höchstens 1 beträgt.Als Anteil oder Verhältnis wird eine relative Häufigkeit als Dezimalzahl, oft aber auch in Prozent oder als Bruch dargestellt.

$$Häufigkeiten bestimmen

$$ Wahrscheinlichkeiten schätzen $$ Kann für ein Ereignis eines Zufallsexperimentes keine genaue Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, so kann man durch möglichst häufiges Durchführen dieses Experimentes eine Wahrscheinlichkeit schätzen. Dafür wird dann die beobachtete relative Häufigkeit benutzt: Tritt ein Ereignis in beispielsweise 960 von 2000 identisch durchgeführten Versuchen ein, so geht man davon aus, dass dessen Wahrscheinlichkeit in diesem Experiment ungefähr $\frac{960}{2000}$= 48 $\%$ beträgt. Umgekehrt wird angenommen, dass die relativen Häufigkeiten von Ereignissen mit steigender Anzahl der Versuche den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten immer häufiger beliebig nahe kommen. Begründet werden diese Annahmen durch die Beobachtung, dass in sehr vielen Zufallsexperimenten die relativen Häufigkeiten bei steigender Anzahl der Versuche immer weniger schwanken. Das nennt man auch das empirische Gesetz der großen Zahlen. Es kann nicht allgemein bewiesen werden und ist daher auch kein mathematischer Satz. Es ist eher eine Erfahrungstatsache und deutet überhaupt erst darauf hin, dass auch zufällige Erscheinungen gewissen Regelmäßigkeiten folgen.

Wird bei einem Zufallsexperiment jedem möglichen Ergebnis eine Zahl zugeordnet, kann berechnet werden, welche Zahl bei häufigem Durchführen des Experimentes im Durchschnitt zugeordnet wird. Dieses durchschnittliche Resultat nennt man Erwartungswert. Du bestimmst den Erwartungswert eines Zufallsexperimentes bezüglich einer Zuordnung Z von Zahlen, indem du für jedes der möglichen Ergebnisse ${\text{e}}_{\text{1}}$, ... , ${\text{e}}_{\text{n}}$ die zugeordnete Zahl mit der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses multiplizierst und anschließend die Summe dieser Produkte berechnest.