Elementare Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens und besondere Winkel

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C gilt:

Die Gegenkathete des Winkels α ist die Ankathete des Winkels β. Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck ( $\alpha +\beta +\gamma =180$ °) folgt für ein rechtwinkliges Dreieck mit $\gamma =90$ °: $\alpha +\beta =90\text{°}$ Also: $\beta =90\text{°}-\alpha$ und damit: $\sin \left(90\text{°}-\alpha \right)=\cos \left(\alpha \right)$ und $\cos \left(90\text{°}-\alpha \right)=\sin \left(\alpha \right)$ Das gilt auch, wenn du α und β vertauschst.Natürlich kannst du auch den Taschenrechner verwenden.Du berechnest den Sinus von $24°$ und verwendest dann die Taste ${\cos }^{-1}$ : $\beta ={\cos }^{-1}\left(\sin \left(24\text{°}\right)\right)$

Es gibt einen weiteren wichtigen Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels:

Für jeden spitzen Winkel α gilt: ${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1$ (dabei ist ${\sin }^2\left(\alpha \right)={\left(\sin \left(\alpha \right)\right)}^2$ und ${\cos }^2\left(\alpha \right)={\left(\cos \left(\alpha \right)\right)}^2$ )

Das lässt sich an einem rechtwinkligen Dreieck schnell herleiten: Satz des Pythagoras: Wähle einen beliebigen Winkel α und überprüfe die Gleichheit mit deinem Taschenrechner. Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du ohne Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus aus dem Kosinus oder den Kosinus aus dem Sinus bestimmen.

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit $\gamma =90$ " gilt: $\tan \left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}$

Zu einigen Winkeln ergeben sich Werte für Sinus, Kosinus und Tangens, die du dir leicht merken kannst.