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Anwendungen zu Ungleichungen

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Hier erfährst du anhand verschiedener Beispiele, wie du mathematische Fragestellungen mit Hilfe von Ungleichungen lösen kannst.

Wie löst man Textaufgaben?

Die Anwendungen, Rätsel und Probleme aus dem Alltag, die in den Beispielen aufgeführt sind, lassen sich lösen, indem du Ungleichungen aufstellst und diese löst. Es ist hilfreich, wenn du dich dabei an folgende Arbeitsschritte hältst. In einigen Fällen kannst du einzelne Lösungsschritte auch überspringen oder weglassen.
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Zahlenrätsel

Zahlenrätsel sind eine Form von Textaufgaben, bei denen Rechenvorschriften direkt formuliert sind. Du kannst sie in Terme „übersetzen“ und wie in den Beispielen als Ungleichung formulieren, die du anschließend lösen kannst.
Die Summe dreier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist kleiner oder gleich 108. Wie groß kann die kleinste der drei Zahlen höchstens sein?
Variable festlegen
Da nach der kleinsten Zahl gefragt wird, ist es sinnvoll, für diese auch die Variable zu wählen.
x ist die kleinste Zahl.
Terme aufstellen
Es werden drei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen addiert. Wenn x eine ungerade Zahl ist, dann sind x + 2 und x + 4 die darauffolgenden ungeraden Zahlen.
x ist die kleinste Zahl.x + 2 ist die nächstgrößere ungerade Zahl.x + 4 ist die übernächste ungerade Zahl. x + x + 2 + x + 4 oder kurz x + x + 2 + x + 4 ist die Summe der drei Zahlen
Ungleichung aufstellen
Die Summe der drei Zahlen ist kleiner oder gleich 108, also müssen die drei Terme addiert werden.
Die Summe soll kleiner oder gleich 108 sein: x + x + 2 + x + 4 ≤ 108
Ungleichung lösen
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Inhaltliche Probe der Lösung
33 ist die größte ungerade Zahl, die kleiner als 34 ist.Die Summe 33 + 35 + 37 = 105 ist kleiner als 108.Die Summe, die mit der nächstgrößeren ungeraden Zahl (35) beginnt, ist größer als 108.33 ist also die Lösung des Zahlenrätsels.
33 + 35 + 37 = 105   35 + 37 + 39 = 111
Antwortsatz formulieren
Die kleinste Zahl darf höchstens 33 sein.

Mischungsaufgaben

In Mischungsaufgaben werden mathematische Probleme beschrieben, bei denen verschiedene Stoffe mit unterschiedlichen Eigenschaften gemischt werden, um einen neuen Stoff oder eine neue Substanz zu erhalten.
Ein Fruchtsaft mit 60 % Fruchtanteil soll mit einem Fruchtsaft mit 40 % Fruchtanteil gemischt werden, so dass 30 Liter eines Saftes mit einem Fruchtanteil von 46 % bis 50 % entstehen. Wie viel Liter des 60 % igen Fruchtsaftes muss man mindestens und darf man höchstens der Mischung beifügen?
Variable festlegen
Es ist nach der Menge des 60 % igen Fruchtsaftes gefragt, also ist es sinnvoll, dafür auch die Variable zu wählen.
x ist die Menge des 60 % igen Saftes in l.
Terme aufstellen
Die Dezimalzahlen 0.4 ; 0.46 ; 0.5 und 0.6 sind nur andere Schreibweisen für 40 % , 46 % , 50 % und 60 % .Beispiel: 46 % von 30 Liter sind 46 100 · 30 = 0.46 · 30 .
x ist die Menge des 60 % igen Saftes in l.30 - x ist die Menge 40 % igen Saftes in l.0,6x ist die Fruchtmenge in l, die durch den 60 % igen Saft in die Mischung gebracht wird.0,4(30 - x) ist die Fruchtmenge in l, die durch den 40 % igen Saft in die Mischung gebracht wird.0,46 • 30 ist die Fruchtmenge in l, die mindestens in der neuen Mischung enthalten sein soll.0,5 • 30 ist die Fruchtmenge, die höchstens in der neuen Mischung enthalten sein soll.
Ungleichung aufstellen
Es gibt eine untere und eine obere Grenze für den Fruchtanteil der Mischung. Deshalb kannst du hier eine Ungleichungskette aufstellen.Die Fruchtmenge soll mindesten 46 % von 30 Litern betragen. 0,46 • 30 ≤Die neue Mischung setzt sich aus dem Fruchtsaft mit 60 % Fruchtanteil (0,6x) und dem mit 40 % Fruchtanteil (0,4(30-x)) zusammen. 0,46 • 30 ≤ 0,6x + 0,4(30 - x)Die Fruchtmenge soll höchstens 50 % von 30 Litern betragen.0,46 • 30 ≤ 0,6x + 0,4(30 - x) ≤ 0,5 • 30
In der neuen Mischung soll mindesten 0,46 • 30 l Fruchtmenge enthalten sein: 0,46 • 30 ≤ 0,6x + 0,4(30 - x)In der neuen Mischung sollen höchstens 0,5 • 30 l Fruchtmenge enthalten sein:0,6x + 0,4(30 - x) ≤ 0,5 • 30Daraus folgt:0,46 • 30 ≤ 0,6x + 0,4(30 - x) ≤ 0,5 • 30
Ungleichung lösen
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Angabe der Lösungsmenge
Der Ausdruck L = {x ∈ ℚ | 9 ≤ x ≤ 15} beschreibt, dass in der Lösungsmenge L alle rationalen Zahlen x enthalten sind, die größer oder gleich 9 und kleiner oder gleich 15 sind.
L = {x ∈ ℚ | 9 ≤ x ≤ 15}
Antwortsatz formulieren
Es müssen mindestens 9 Liter und dürfen höchstens 15 Liter des 60 % igen Fruchtsaftes verwendet werden, um den gewünschten Fruchtanteil in der Mischung zu erreichen.