Relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten

Zweimaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen Du kannst den Wahrscheinlichkeitsbaum zu folgendem Zufallsexperiment konstruieren:Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen.Ein passendes Baumdiagramm ist zum Beispiel:

$$ Jeder Zweig im Baumdiagramm entspricht einem Ergebnis eines der beiden Teilexperimente „Ziehen der ersten Kugel aus der Urne“ bzw. „Ziehen der zweiten Kugel aus der Urne „. Eine Zweigwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zum jeweiligen Zweig gehörige Ergebnis eintritt. Beim Ziehen der ersten Kugel sind die möglichen Ergebnisse , und . Beim ersten Ziehen kann jede Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit ( $\frac{1}{10}$) gezogen werden. Daher kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse , und mit Hilfe der Formel für Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen: Erste Ziehung Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{3}{10}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{6}{10}$= $\frac{3}{5}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{1}{10}$ Die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse , und für die zweite Ziehung sind nun abhängig vom Ausgang der ersten Ziehung. Je nachdem fehlt nun eine der Kugeln der Farbe , bzw. . Zweite Ziehung Falls die erste Ziehung lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{2}{9}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{6}{9}$= $\frac{2}{3}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{1}{9}$ Falls die erste Ziehung lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{3}{9}$= $\frac{1}{3}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{5}{9}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{1}{9}$ Falls die erste Ziehung lieferte:Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{3}{9}$= $\frac{1}{3}$Wahrscheinlichkeit von Teilergebnis : $\frac{6}{9}$= $\frac{2}{3}$  Nach dem Eintragen aller Zweigwahrscheinlichkeiten sieht der Wahrscheinlichkeitsbaum wie folgt aus:

Aus der abgebildeten Urne werden nacheinander 2 Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen. Ein zugehöriger Wahrscheinlichkeitsbaum ist angegeben: Du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“, indem du zuerst die zum Ereignis E - „Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb“ - gehörigen Ergebnisse den entsprechenden Endknoten im Baum zuordnest:; ; ; Dann berechnest du für jedes zu E gehörige Ergebnis die Pfadwahrscheinlichkeit. Dabei wendest du die Produktregel für Pfadwahrscheinlichkeiten an: P() = $\frac{3}{10}·\frac{2}{3}=\frac{1}{5}$ P() = $\frac{3}{5}·\frac{1}{3}=\frac{1}{5}$ P() = $\frac{3}{5}·\frac{1}{9}=\frac{1}{15}$ P() = $\frac{1}{10}·\frac{2}{3}=\frac{1}{15}$ Diese Pfadwahrscheinlichkeiten schreibst du neben die zugehörigen Ergebnisse. Du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ("Genau eine Kugel hat die Farbe Gelb"), indem du die Pfadwahrscheinlichkeiten der zu E gehörigen Ergebnisse addierst:

Würfeln mit Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ist ein Laplace-Experiment, weil beim Würfeln mit einem „fairen“ Würfel aufgrund der symmetrischen Form und der gleichmäßig verteilten Masse des Würfels jede der sechs Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit oben liegen bleibt.Jede Zahl wird also mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$gewürfelt. Würfeln mit Ergebnismenge Ω = {keine 6; 6} ist kein Laplace-Experiment, weil mit geringerer Wahrscheinlichkeit eine „6“ als „keine 6“, also eines der fünf anderen Ergebnisse, gewürfelt wird.

Beim Fußballtraining hat Marc 18 von 25 Elfmetern verwandelt. Fabian hat 16 von 20 Elfmetern verwandelt. Marc: - Anzahl aller Elfmeter: 25 - Absolute Häufigkeit der Treffer: 18 - Relative Häufigkeit der Treffer: $\frac{18}{25}$= $0.72$= 72 $\%$ Fabian: - Anzahl aller Elfmeter: 20 - Absolute Häufigkeit der Treffer: 16 - Relative Häufigkeit der Treffer: $\frac{16}{20}$= $0.8$= 80 $\%$

Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Weiterhin sei E das Ereignis „Eine Zahl größer oder gleich 3 wird gewürfelt“. Das heißt, es ist E = {3; 4; 5; 6}. Dann besteht das zu E gehörige Gegenereignis $\stackrel{\_}{\text{E}}$aus denjenigen Augenzahlen, die nicht zu E gehören. Somit gilt $\stackrel{\_}{\text{E}}$= {1; 2}.

Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Weiterhin sei E das Ereignis „Eine positive Zahl wird gewürfelt ‟. Dann ist E das sichere Ereignis, denn jede würfelbare Augenzahl ist positiv.Das heißt, es ist E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω.