Dreiecke, Vierecke und Kreise

Um den $\text{Flächeninhalt}$ eines $\text{Rechtecks}$ zu bestimmen, kannst du es mit $\text{Einheitsquadraten}$ auslegen.

Allgemein erhältst du den Flächeninhalt (oder kurz die Fläche) A eines Rechtecks, wenn du die Länge a mit der Breite b multiplizierst:   $A=a·b$

Das $\text{Quadrat}$ ist ein besonderes $\text{Rechteck}$. Hier sind nicht nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, sondern alle vier Seiten. Für den Flächeninhalt A gilt dann:   $A=a·a$

Im Alltag kommen häufig Flächen vor, die aus mehreren Rechtecken zusammengesetzt sind (zum Beispiel Wohnungsgrundrisse). Auch für diese kannst du den Flächeninhalt berechnen. Du überlegst zunächst, wie die Figur aus Rechtecken zusammengesetzt ist. Dann berechnest du die Flächeninhalte dieser Rechtecke und addierst die Ergebnisse.

Den $\text{Umfang}$ eines $\text{Vielecks}$ berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst.

Den Flächeninhalt eines Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Länge der Grundseite g mit der zugehörigen Höhe h multiplizierst und das Produkt durch 2 dividierst: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{g}·\text{h}$ Da es drei verschiedene Grundseiten und die jeweiligen zugehörigen Höhen im Dreieck gibt, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten den Flächeninhalt zu berechnen:Mit der Grundseite a: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{a}·{\text{h}}_{\text{a}}$, wobei a die Länge der Seite a und ${\text{h}}_{\text{a}}$ die zugehörige Höhe bezeichnet.Mit der Grundseite b: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{b}·{\text{h}}_{\text{b}}$, wobei b die Länge der Seite b und ${\text{h}}_{\text{b}}$ die zugehörige Höhe bezeichnet.Mit der Grundseite c: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{c}·{\text{h}}_{\text{c}}$, wobei c die Länge der Seite c und ${\text{h}}_{\text{c}}$ die zugehörige Höhe bezeichnet. Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, multiplizierst: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{a}·\text{b}$, wobei a und b die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, bezeichnen.

Ein Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten werden entsprechend mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C. Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180°$.

Das „Haus der Vierecke“ stellt die Beziehungen zwischen speziellen Vierecken dar.

Es gibt verschiedene Dreiecksarten. Du kannst diese nach der Größe ihrer Winkel und den Beziehungen ihrer Seitenlängen einteilen: Winkelgröße: Seitenlänge: Die Begriffe Winkelgröße und Seitenlänge lässt sich auch kombinieren (zum Beispiel „gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck“).

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises kannst du unterschiedlich nutzen. Wenn du zu gegebenem Radius $r$ den $\text{Flächeninhalt}A\text{berechnen}$ möchtest, setzt du den Wert für den Radius in die Formel ein und berechnest den Flächeninhalt. Wenn du zu gegebenem Flächeninhalt $A$ den $\text{Radius}r\text{berechnen}$ möchtest, stellst du die Formel nach $r$ um und setzt den Wert für $A$ in die umgestellte Formel ein: $A=\mathrm{pi}{r}^2$ $r^2=\frac{A}{\mathrm{pi}}$ $r=\sqrt{\frac{A}{\mathrm{pi}}}$

Eine kreisförmige Fläche entsteht oft durch ein rotierendes Objekt, zum Beispiel einen Wassersprenger. Hier ist es interessant zu wissen, wie groß die Fläche ist, die bewässert wird. Um das Volumen bestimmter Körper (zum Beispiel Zylinder und Kegel) mit kreisförmiger Grundfläche berechnen zu können, benötigst du den Flächeninhalt dieser Grundfläche. Statt des Radius ist in diesen Fällen meist der Durchmesser gegeben, da sich dieser leichter messen lässt.

Aus dem Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser $\frac{U}{d}=\pi$ ergibt sich die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises bei gegebenem Durchmesser d: $U=\pi d$ Hast du den Radius r des Kreises gegeben, verwendest du $U=\pi 2r$, denn $d=2r$

Im Alltag hast du öfter mit kreisrunden Gegenständen zu tun, bei denen der Umfang von Interesse ist. Du kannst z.B. den Umfang eines Fahrradreifens berechnen und damit den zurückgelegten Weg bei einer bestimmten Anzahl von Radumdrehungen und daraus die Geschwindigkeit ermitteln.