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Additionstheorem

Für \sin, \cos und \tan zweier Winkel \alpha und \beta gilt:\sin (\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta) und \sin (\alpha - \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\cos (\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) und \cos (\alpha - \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}\tan (\alpha - \beta)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}

Beliebige Dreiecke

Beliebige Dreiecke sind Dreiecke mit drei unterschiedlichen Winkeln und drei unterschiedlich langen Seiten. Wenn drei dieser sechs verschiedenen Informationen vorliegen, kann man manchmal die drei fehlenden Seitenlängen/Winkel bestimmen und das Dreieck zeichnen. Man verwendet dazu die "Kongruenzsätze?. Die fehlenden Angaben eines Dreiecks können stets eindeutig bestimmt werden, wenn gegeben ist: sss, sws, wsw, Ssw, wobei S und s für Seite und w für Winkel steht und im letzten Fall der Winkel der größeren (S) der gegebenen Seiten (S und s) gegenüber liegt. Nicht eindeutig bestimmt ist ein Dreieck, falls nur die drei Winkel www gegeben sind.

Cosinus

Der Cosinus des Winkels \alpha ist im rechtwinkligen Dreieck definiert als das Verhältnis von Ankathete b zu Hypotenuse c:\cos \alpha = \frac bc. Der Cosinus eines Winkels ist eine reelle Zahl. In diesem Sinn ist der Cosinus nur für Winkel < 90^\circ definiert.

Cotangens

Der Cotangens ist der Kehrwert des Tangens:\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}. Im Dreieck gilt tan \alpha= Gegenkathete/ Ankathete, \cot \alpha = Ankathete / Gegenkathete.

Cosinusfunktion

Die Cosinusfunktion:f(x)= \cos (x)ist eine der Winkelfunktionen und im Bereich der reellen Zahlen definiert. Der Wertebereich liegt zwischen -1 und +1.

gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleichlange Seiten und jeweils drei gleiche Winkel von je 60 Grad. Aus Symmetriegründen sind die Winkelhalbierenden zugleich Seitenhalbierende und Höhen, d. h. der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt fallen zusammen.

Drehung

Kongruenzabbildung der Ebene, bei der ein Punkt P fest bleibt. Jeder von P ausgehende Strahl wird um einen festen Winkel, den ->Drehwinkel, gegen den Uhrzeigersinn (positiver Winkel) gedreht.

Dreieck

Ein Dreieck ist ein geometrisches Gebilde mit drei Seiten, drei Innenwinkeln und drei Eckpunkten: die Schnittpunkte je zweier Seiten. In einem ebenen Dreieck gilt stets: 1. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets 180 Grad. 2. Die Summe zweier Seitenlängen ist größer als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung).

Drehwinkel

Winkel, um den eine ->Drehung stattfindet.

gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleichlange Seiten, die so genannten Schenkel. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch und zwei der drei Winkel sind gleich groß.

Euklidische Geometrie

Von Euklid beschriebene Geometrie, bei der die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt. Im 19. Jahrhundert hat man nichteuklidische Geometrien gefunden, bei denen dies nicht gilt, z.B. kann eine Dreieck auf einer Kugel 3 rechte Winkel besitzen.

Ergänzungswinkel

Zu jedem Winkel \alpha < 180^\circ gibt es den Ergänzungswinkel \alpha" mit \alpha + \alpha^\prime =180^\circ. Nebenwinkel sind Ergänzungswinkel.

Fünfeck

Ein regelmäßiges Fünfeck hat 5 gleichlange Seiten und fünf gleiche Innenwinkel. Die Summe der Winkel beträgt 540 Grad. Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks mit der Kantenlänge a beträgt: A= \frac{a^{2}}{4} \cdot \sqrt{25+10 \cdot \sqrt{5} } .

Grad (Winkelmaß)

Beim Gradmaß eines Winkels wird der Vollkreis in 360 Grad unterteilt.

Hypotenuse

Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite eines rechtwinkligen ->Dreiecks.

Kongruenzsätze

Es gibt vier Kongruenzsätze. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie 1. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen  (SWS); 2. in zwei Winkeln und einer Seite übereinstimmen (WSW oder WWS); 3. in den drei Seiten übereinstimmen (SSS);4. in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüber liegenden Winkel (Gegenwinkel) übereinstimmen (SsW).

Schnittwinkel

Zwei Geraden schneiden sich unter einem Schnittwinkel. Der Schnittwinkel ist der kleinere der beiden verschiedenen Winkel. Haben die Geraden die Steigungen m_{1} und m_{2}, so gilt für den Schnittwinkel \alpha: \tan \alpha =\frac{m_{2}-m_{1}}{1++m_{1}m_{2}}

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind die jeweils gegenüber liegenden Winkel, die beim Schnitt zweier Geraden entstehen.

stumpfer Winkel

Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel zwischen 90 und 180 Grad.

Stufenwinkel

Das sind gleichgroße Winkel, die entstehen, wenn eine Gerade g zwei Parallelen m und n schneidet. Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität der Geraden m und n geschlossen werden.

Vollwinkel

Ein Winkel von 360 Grad heißt Vollwinkel.

Winkeldreiteilung

In der klassischen Geometrie werden Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und Lineal durchgeführt. Die Dreiteilung eines Beliebigen vorgegebenen Winkels ist im Allgemeinen nicht lösbar.

Winkelmaß

Durch eine ->Winkelfunktion kann man jedem ->Winkel ein Winkelmaß zuordnen, das zwischen 0 und 360 Grad liegt. Der Vollwinkel besitzt das Winkelmaß 360 Grad.

Dreiteilung eines Winkels

Die Dreiteilung eines beliebigen Winkels ist eines der ->klassischen geometrischen Probleme. Die Konstruktion ist mit Zirkel und Lineal nur in Spezialfällen möglich.

gestreckter Winkel

Gestreckter Winkel ist ein Winkel von 180 Grad, also ein halber ->Vollwinkel

Gegenkathete

Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die beiden Seiten, die den rechten Winkel (90°) einschließen, als Katheten. Dem rechten Winkel liegt die Hypotenuse gegenüber, der anderen beiden Winkeln jeweils ihre Gegenkathete.

Schenkel

a) die beiden Halbgeraden die einen Winkel einschließen; b) die beiden nichtparallelen Seiten eines Trapezes; c) die beiden gleich langen Seiten beim gleichschenkligen Dreieck.

Sechseck

Das Sechseck ist ein Polygon mit 6 Ecken. Das regelmäßige Sechseck besitzt 6 gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Mit dem regelmäßigen Sechseck kann eine Fläche ohne Zwischenräume bedeckt werden (Parkettboden).

rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von 90 Grad, einen "rechten" Winkel. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten.Im rechtwinkligen Dreieck gilt der "Satz des Pythagoras": Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten, in Buchstaben: a^{2}+b^{2}=c^{2}, falls a und b die Seitenlängen der Katheten und c die Seitenlänge der Hypotenuse sind.Im rechtwinkligen Dreieck  werden bestimmte Verhältniszahlen der Seitenlängen mit Namen versehen. Diese heißen für einen Innenwinkel \alpha, der kein rechter Winkel ist, Sinus (\sin (\alpha)), Cosinus (\cos (\alpha)), Tangens (tan (\alpha)) und Cotangens (\cot (\alpha))…

Pentagon

Das regelmäßige Fünfeck (griech. Pentagon) hat fünf gleich lange Seiten. Jeder Innenwinkel beträgt 72 Grad und die Fläche F_{F\ddot{u}nfeck}=\frac{a^{2}}{4}\sqrt{25++10\sqrt{5}}, \alpha =108^{\circ}, wenn a die Seitenlänge bezeichnet.


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