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Vektor

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Nullvektor

Ein Vektor der Länge 0 heißt Nullvektor. Er hat keine Richtung. Im dreimensionalen Raum \mathbb{R}^3 besitzt der Nullvektor die Darstellung   \begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix}

n-dimensionaler Raum

Mathematische Verallgemeinerung des dreidimensionalen Anschauungsraums \mathbb{R}^{3}. Jeder Punkt wird durch n reelle Zahlen (Koordinaten) festgelegt. Diese können zu einem Vektor zusammengefasst werden:\vec{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\\ a_{2}\\\ \vdots \\\ a_{n-1}\\\ a_{n} \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{n}

Pfeil

Ein Pfeil über einer Variablen bezeichnet einen Vektor.

Rang

Der Rang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl linear ->unabhängiger Zeilenvektoren. Man berechnet ihn durch Umwandlung der Matrix in Stufenform. Beispiel: A=\begin{pmatrix}1 & 9 & 23\\\ 0 & -2 & 1\\\ 0 & 10 & 4\end{pmatrix} hat die Stufenform \begin{pmatrix}1 & 9 & 23\\\ 0 & -2 & 1\\\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}. Daher ist Rang(A)=3.

Resultierende

Werden Vektoren addiert, so nennt man den Summenvektor Resultierende: \vec{a}=\vec{b}++\vec{c}++\vec{d}++\vec{e}

Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren ist (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c} . Es gilt: (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=a_{1}b_{2}c_{3}++a_{2}b_{3}c_{1}++a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}= =\det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\\ c_{1} & c_{2}& c_{3} \end{pmatrix} Der Betrag des Spatproduktes ist gleich dem Volumen des ->Spats, der von den drei Vektoren aufgespannt wird. Ist das Spatprodukt 0, so sind die Vektoren linear abhängig.

Tripel

Eine geordnete Menge mit drei Elementen. Zum Beispiel Vektoren im dreidimensionalen Raum.  \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c \end{pmatrix} mit a,b,c reelle Zahlen.

Vektorraum

Der Vektorraum ist ein zentraler Begriff der analytischen Geometrie. Eine kommutative Gruppe (V,+) heißt Vektorraum, wenn auf ihr eine (skalare) Multiplikation mit reellen Zahlen u, v so definiert ist, dass gilt: 1. Die Skalarmultiplikation ist assoziativ: u\cdot (v\cdot \vec{a})=(u\cdot v)\cdot \vec{a} 2. Es gelten die beiden Distributivgesetze: (u + +v)\cdot \vec{a}=u\cdot \vec{a}++v\cdot \vec{a} und     u\cdot (\vec{a}++\vec{b})=u\cdot \vec{a}++u\cdot \vec{b} 3. Es gilt: 1\cdot \vec{a}=\vec{a} Die Elemente des Vektorraumes nennt man Vektoren.

Ebene

In einem rechtwinkligen räumlichen Koordinatensystem kann eine Ebene auf verschiedene Arten beschrieben werden:  1. Durch die Gleichung Ax + By + Cz + D = 0.   2. Durch die Abschnittsgleichung (Abschnitte auf den drei Achsen) \frac x a+ \frac y b + \frac z c = 1, wobei a, b, c ungleich null sind und die Ebene durch die drei Achsenschnittpunkte mit der x-Achse (a,0,0) ,mit der y-Achse (0,b,0) und mit der z-Achse (0,0,c) geht.  3. In Hessescher Normalform:       (\vec{x}-\vec{p})\cdot \vec{n}=0 , wobei p ein Ortsvektor der Ebene ist und n der Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht…

senkrecht

Zwei Geraden sind senkrecht (oder orthogonal) zueinander, wenn ihr Schnittwinkel 90 Grad beträgt. Zwei Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr ->Skalarprodukt null ist.

Skalarprodukt

In der linearen Algebra wird unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren \vec{a}=\begin{pmatrix} a_{1}\\\ a_{2}\\\ \vdots \\\ a_{n} \end{pmatrix} und \vec{b}=\begin{pmatrix} b_{1}\\\ b_{2}\\\ \vdots \\\ b_{n} \end{pmatrix} die Summe der Produkte der Koordinaten a_{1}b_{1}++a_{2}b_{2}++...++a_{n}b_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} verstanden.


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