Newton-Verfahren

Das Newtonsche Näherungsverfahren erlaubt es, rekursiv eine Nullstelle beliebig genau zu berechnen, falls die Funktionsgleichung differenzierbar ist. Ist eine Funktion mindestens zweimal differenzierbar, \(f^\prime(x_i) \neq 0\) für \(x_i\) in der Nähe einer Nullstelle, so schneidet die Tangente in \((x_i|f(x_i))\) die x-Achse an der Stelle \(x_{i+1}\) und der neue Wert \(x_{i+1} = x_i- \frac {f(x_i)}{f^\prime(x_i)}\) ist in viele Fällen eine bessere Näherung an die Nullstelle.

Beispiel: 

\(f(x)=1-\frac{2}{x^{3}}\) ; \(f^\prime(x)=\frac{6}{x^{4}}\)

Für \(x = 1\) ist \(f(x) < 0[/latex] , für  \(\)x = 2\)  ist \(f(x) > 0\), also liegt dazwischen eine Nullstelle, denn f ist stetig auf [1, 2].

\(x_1 = 1\)

\(x_2 = 1 - \frac {-1}6 = \frac 76\)

\(x_3 = \frac 76 - \frac{1- \frac 2 { (\frac 76)^3 } }{ \frac 6{(\frac 76)^4}} = 1,087 \quad (f(1,087)=-0,558)\)

\(x_{4}=1,087-\frac{1-\frac{2}{1,087^{3}}}{\frac{6}{1,087^{4}}}=1,2166\)     \((f(1,2166)=-0,11)\)  usw.