Newton-Verfahren

Das Newtonsche Näherungsverfahren erlaubt es, rekursiv eine Nullstelle beliebig genau zu berechnen, falls die Funktionsgleichung differenzierbar ist. Ist eine Funktion mindestens zweimal differenzierbar, für  in der Nähe einer Nullstelle, so schneidet die Tangente in die x-Achse an der Stelle und der neue Wert ist in viele Fällen eine bessere Näherung an die Nullstelle.

 

Beispiel: 

;

Für ist   ist , also liegt dazwischen eine Nullstelle, denn f ist stetig auf [1, 2].

      usw.

Newton, Isaac

Name: Isaac Newton

Geboren: 1643 in Woolsthorpe (England)

Gestorben: 1727 in London

Lehr-/Forschungsgebiete: Algebra, Infinitesimalrechnung, Reihenlehre, Physik, Astronomie

Isaac Newton war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist und Verwaltungsbeamter des 17. und 18. Jahrhunderts. In seinem Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica legte er die Grundlagen der klassischen Mechanik und formulierte das Gravitationsgesetz. Neben weiteren physikalischen und mathematischen Beiträgen entdeckte er die Infinitesimalrechnung (zeitgleich mit Gottfried Wilhelm Leibniz). Nach ihm benannt sind unter anderem die physikalische Einheit für Kraft (Newton), das Newton-Verfahren, die Newton-Identitäten und die Newton-Cotes-Formeln.

Leben

Isaac Newton wurde 1643 (Weihnachten 1642 nach dem julianischen Kalender) in Woolsthorpe, England, geboren. Sein Vater war bereits tot und Isaac wuchs bei seiner Großmutter und seiner Mutter auf. Zum Studium ging er nach Cambridge. Aufgrund der Pest kehrte er zunächst für zwei Jahre nach Woolsthorpe zurück und ging dann wieder als Mathematik-Professor nach Cambridge. Für kurze Zeit war er Mitglied des Englischen Parlaments. 1696 zog er nach London und wurde dort Direktor des Königlichen Münzamtes. 1705 wurde er zum Ritter geschlagen. Newton starb 1727 in London.

Newton soll eine schwierige Psyche gehabt haben und erlitt mindestens einen  Nervenzusammenbruch. Neben seinen heute berühmten wissenschaftlichen Leistungen in Mathematik und Physik beschäftige er sich auch ausgiebig mit Alchemie und Theologie. In der Theologie war er Gegner der Trinitätslehre, was ihn in Konflikt mit der herrschenden Geistlichkeit brachte. Newtons bedeutendstes Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (deutsch „Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie“) behandelt Physik, Astronomie und Mathematik. Es gilt als eines der einflussreichsten Bücher in der Geschichte der Wissenschaft.

Beiträge zur Physik

Mit der Formulierung der drei Bewegungsgesetze und des Newtonschen Gravitationsgesetzes sowie seinen Beiträgen zur Optik war Newtons Bedeutung für die Physik überragend und für über zwei Jahrhundert wegweisend. Die physikalische Einheit der Kraft trägt ihm zu Ehre seinen Namen (Newton).

Beiträge zur Mathematik

Newtons Leistungen auf dem Gebiet der Mathematik stehen in engen Zusammenhang zu seinem physikalischen Denken. Am berühmtesten ist Newton in der Mathematik für seine Entdeckung der Infinitesimalrechnung, die er etwa zeitgleich mit Gottfried Wilhelm Leibniz machte. Zu ihren Lebzeiten stritten sich Newton, Leibniz und ihre jeweiligen Anhänger um die Erstentdeckung und warfen sich gegenseitig Plagiarismus vor. Heute gilt es als gesichert, dass sie beide unabhängig die Infinitesimalrechnung entwickelt haben.

Zu Newtons weiteren Leistungen fu?r die Mathematik zählt die Ausdehnung des Binomischen Lehrsatzes auf gebrochene Exponenten, die zu binomischen Reihen fu?hrt. Sein Name verbindet sich außerdem mit dem Newton-Verfahren,  den Newton-Identitäten und den Newton-Cotes-Formeln. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Raphsonsche Methode) ist ein Näherungsverfahren zur numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen. Die Newton-Identitäten verallgemeinern den Vietaschen Wurzelsatz und stellen einen Zusammenhang zwischen den Potenzsummen und den elementarsymmetrischen Funktionen der Wurzeln einer Polynomgleichung her. Die Newton-Cotes-Formeln bezeichnen eine numerische Quadraturformel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen.

 

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Gleichung

Das Aufstellen und Lösen von Gleichungen ist ein zentrales Thema der Mathematik. Zunächst werden die bekannten und die gesuchten Werte benannt und ihre Beziehungen untereinander notiert. Die gesuchten Werte werden meist mit Buchstaben vom Ende des Alphabets (x, y, z) bezeichnet, bekannte Werte als Zahlenwert direkt eingesetzt oder mit Buchstaben vom Anfang des Alphabets bezeichnet. Wenn die Gleichung steht kann man versuchen sie durch ->Äquivalenzumformungen so umzuschreiben, dass die gesuchte Variable isoliert auf einer Seite steht und die andere Seite nur noch bekannte Werte enthält. Die Lösung ist dann entweder als ->Formel gegeben oder lässt sich näherungsweise mit einem Näherungsverfahren berechnen (->Newton-Verfahren).