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natürliche Zahlen

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Potenzrechenregeln

Für rationale Zahlen a und b mit b ≠ 0 und natürliche Zahlen n und m gilt: (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}, a^{n}\cdot a^{m}=a^{n++m}, \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}} und (a^{n})^{m}=a^{n\cdot m} Man setzt a^{0}=1, a^{1}=a, b^{-n}=\frac{1}{b^{n}} und a^{\frac{m}{n}}=\sqrt{a^{m}}.

Primfaktoren

Du kannst eine natürliche Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen (Primfaktorzerlegung), d.h. als Produkt von Primzahlen schreiben.

Rationale Zahl

Alle Zahlen, die sich als Quotient einer ganzen Zahl und einer ganzen Zahl ungleich Null darstellen lassen. Zur Menge der rationalen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die Brüche und deren Gegenzahlen.

Teilbarkeit

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch eine andere natürliche Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest übrig bleibt. Zur Teilbarkeit von Zahlen gibt es verschiedene ->Teilbarkeitsregeln.

ungerade Zahl

Alle natürlichen Zahlen, die sich als 2n+1 mit einer natürlichen Zahl n darstellen lassen, sind ungerade Zahlen: 1, 3, 5, …

Vielfache

Die Zahlen, die sich bei der Multiplikation einer Zahl mit den natürlichen Zahlen (also mit 1, 2, 3, 4…) ergeben, heißen Vielfache der Zahl. Sie bilden eine unendliche Menge. Beispiel: Die Vielfachen von 4 bilden die Menge V_{4}=\left \{ 4,8,12,16,20,... \right \}.

Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl dient zur Veranschaulichung positiver Zahlen, vornehmlich natürlicher Zahlen oder positiver Brüche.

Zahlbereichserweiterung

Zahlbereichserweiterungen sind nötig, wenn bestimmte Rechenoperationen in einem Zahlenbereich nicht mehr durchführbar sind: Während im Bereich der natürlichen Zahlen \mathbb{N} die Addition stets möglich ist, ist die Subtraktion nur im erweiterten Zahlbereich der ganzen Zahlen uneingeschränkt ausführbar. Während die Multiplikation im Bereich der ganzen Zahlen \mathbb{Z} stets durchführbar ist, muss dieser Zahlbereich für die Division zur Menge \mathbb{Q} der rationalen Zahlen (Menge aller Brüche) erweitert werden. Längenmessungen an geometrischen Figuren (Umfang eines Kreises, Diagonale in einem Quadrat) führen auf irrationale Zahlen, die der Menge der reellen Zahlen angehören.

Zahlbereiche

Als Zahlbereiche werden beispielsweise die Menge der natürlichen Zahlen, die der ganzen Zahlen, die der rationalen Zahlen, die der reellen Zahlen oder die der komplexen Zahlen bezeichnet.

zusammengesetzte Zahl

Eine Zahl, die sich als Produkt anderer natürlicher Zahlen darstellen lässt. Nicht zusammengesetzt sind nur die Primzahlen.

vollkommene Zahl

Eine natürliche Zahl heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist. So ist 6 vollkommen, da 6 = 1 + 2 + 3. Ebenso sind 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 und 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 vollkommene Zahlen.

Peano-Axiome

Die fünf Peano-Axiome sind eine axiomatische Beschreibung der natürlichen Zahlen: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede natürliche Zahl a hat genau einen Nachfolger a′. 3. Es ist stets a′ ≠ 1. 4. Aus a′ = b′ folgt a = b. 5. Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl a auch ihren Nachfolger a′ enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.

untere Schranke

Eine Zahl n ist untere Schranke der Menge M, wenn für alle x\in M gilt n < x oder n = x. So ist jede negative ganze Zahl eine untere Schranke für die Menge der natürlichen Zahlen.


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