Kettenregel

Die Kettenregel erlaubt das Ableiten verketteter Funktionen. Für die Ableitung der Verkettung \(h(x) = g(f(x))\) der differenzierbaren Funktionen g und f gilt:

\(h^prime (x) = g^prime (f(x)) cdot f^prime (x)\)

Beispiele:

1.  \(f(x) = 3x^{3} + 4\) und \(g(x)= sqrt x\) , dann ist \(h(x)=g(f(x))= sqrt {3x^3+4}\) und mit \(f^prime (x) = 9x^2 \)

     und \(g^prime (x) = frac 1 {2 sqrt x}\) folgt:

     \(h^prime (x) = frac {9x^2} {2 sqrt {3x^3+4}}\).

2.  \(v(x)=sqrt{x}\), dann ist \(v(f(x))=sqrt{3x^{3}+4}\), eine nicht direkt ableitbare Funktionsgleichung.

     Allgemein gilt: Gegeben sei v(u) und u(x) dann ist f(x) = v(u(x)) eine "verkettete Funktion" und es gilt:

     \(f^prime(x)=u^prime(v(x))cdot v^prime(x)\) lässt sich die Funktion ableiten.

     Man merkt sich dies mit "Äußerer Ableitung mal innerer Ableitung?.

     Sei \(u(x)=sqrt{x}\) und \(v(x)=x^{3}+4\), dann ist \(f(x)=sqrt{x^{3}+4}\) und

     \(f^prime(x)=frac{1}{2sqrt{x^{3}+4}}cdot 3x^{2}\)

                         äußere        innere Ableitung