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algebraische Kurve

Eine Kurve in der Ebene, die durch eine algebraische Gleichung mit zwei Variablen gegeben ist.Beispiele sind:1. Geraden mit der allgemeinen Gleichung ax + by = c2. Kegelschnitte mit der allgemeinen Gleichung ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey=f, speziell Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln3. Kurven höherer Ordnung wie x^{3}+y^{3}-3axy=(cartesisches Blatt) oder (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2}) (Lemniskate)

Hyperbel

Eine Hyperbel ist ein ->Kegelschnitt. Man erhält sie als Schnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene parallel zu dessen Achse.

Kegelschnitt

Ein Kegelschnitt entsteht, wenn man einen (Doppel-)Kegel mit einer Ebene schneidet. Dabei können als Schnittfiguren Kreise, Parabeln, Hyperbeln oder Ellipsen entstehen. Schneidet die Ebene den Doppelkegel in der Kegelspitze so entstehen ein Punkt, eine Gerade oder zwei Geraden. Alle Kegelschnitte sind als Funktionen im kartesischen Koordinatensystem darstellbar durch eine ->algebraische Gleichung: ax^{2} + bxy + cy^{2} + 2dx + 2ey + f = 0.So ergibt sich beispielsweise füra = c = 1, b = d = e=0, f < 0ein Kreis um den Ursprung, oder fürb = 0, c = 0, e \neq 0eine Parabel.

Ellipse

Eine Ellipse ist elementargeometrisch die Menge aller Punkte, für die die Summe ihrer Entfernungen von 2 (Brenn-)Punkten F_{1} und F_{2} konstant ist: r_{1}+r_{2}=c.Man kann die Ellipse auch als speziellen Kegelschnitt (Schnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene) definieren.In der analytischen Geometrie kann die Ellipse durch eine algebraische Gleichung der Form \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 festgelegt werden. Hier sind a und b die beiden Halbachsen, die Hälften des größten und des kleinsten Durchmessers.


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