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bestimmtes Integral

Unter einem bestimmen Integral versteht man einen Ausdruck der Form: \int_{a}^{b}f\left(x\right)\,dx.Für eine auf dem Intervall positive Funktion gibt das bestimmte Integral den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse an.Ist F die Stammfunktion von f, d.h. F differenzierbar mit F'(x)=f(x) , so gilt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung \int_{a}^{b}f\left(x\right)\,dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).

Produktintegration

Produktintegration oder partielle Integration besteht in der Anwendung der Produktregel der Differentialrechnung, um das Integral eines Produkts von zwei Funktionen zu bestimmen. \int_{a}^{b}f^\prime(x)\cdot g(x)dx=\left _{a}^{b}-\int_{a}^{b}f(x)\cdot g^\prime(x)dx Beispiel: Zur Integration von h(x)=x\sin x setzt man f^\prime(x)=\sin x und g(x) = x. Dann gilt: \int x\sin xdx=x(-\cos x)-\int (-\cos x)dx=-x\cos x++\sin x++C

Integration

Die Rechnung, mit der man zu gegebenem Funktionsterm das (unbestimmte) Integral bestimmt, nennt man Integration.Beispiel:  \int 5x^{3}dx=5\int x^{3}dx=5\cdot \frac{1}{4}x^{4}+C=\frac{5}{4}x^{4}+C


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