Indirekter Beweis

Um etwas indirekt zu beweisen, benutze ich eine (falsche) Annahme und rechne solange, bis ich zu einem Widerspruch komme. Ich muss die Annahme verwerfen und habe damit das Gegenteil bewiesen.

Beispiel: \( sqrt{2} \) ist irrational.

Annahme (die widerlegt werden soll) : \( sqrt{2} \) ist rational , also \( sqrt{2} = frac{b}{a} \) , a und b teilerfremde ganze Zahlen.
\(sqrt{2}=frac{b}{a}Rightarrow 2a^{2}=b^{2}\) . Die Zahl \(2a^{2}\) ist gerade, also ist auch \(b^{2}\) gerade. Dann muss bereits b gerade sein, denn "ungerade mal ungerade ist ungerade?. Die Primfaktorzerlegung von b enthält also 2 und die von \(b^{2}\) dann 4. Dann ist auch \(a^{2}\) und folglich a gerade, im Widerspruch zur Annahme, dass a und b teilerfremd sind.
Daraus folgt: \( sqrt{2} \) ist keine rationale Zahl.