Partialbruchzerlegung

Hat die quadratische Gleichung x² + ax + b = 0 zwei verschiedene Lösungen \(x_{1}\) und \(x_{2}\), so lässt sich der Bruchterm \(frac{1}{x^{2}++ax++b}\) zerlegen in \(frac{1}{x^{2}++ax++b}=frac{A}{x-x_{1}}++frac{B}{x-x_{2}}\) mit Konstanten A und B, die man durch ->Koeffizientenvergleich bestimmen kann.
Beispiel: Da x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) gilt, kannst du \(frac{1}{x^{2}++8x++15}=frac{A}{x++5}++frac{B}{x++3}\) ansetzen. Bringst du die Bruchterme der rechten Seite auf den Hauptnenner, so wird der Zähler (x + 3)A + (x + 5)B = 1. Umstellen ergibt x(A + B) + (3A + 5B) = 1 und durch Koeffizientenvergleich:
A + B = 0 oder B = -A und 3A + 5B = 1 oder 3A – 5A = 1 -> A = \(-frac{1}{2}\) und B = \(frac{1}{2}\)
Und damit die Zerlegung
\(frac{1}{x^{2}++8x++15}=frac{-frac{1}{2}}{x++5}++frac{frac{1}{2}}{x++3}\)
Die Partialbruchzerlegung erlaubt es, die ->Stammfunktionen gebrochen-rationaler Funktionen zu ermitteln.