Cauchy, Augustin Louis

Name: Augustin Louis Cauchy

Geboren: 1789 in Paris

Gestorben: 1857 in Sceaux (bei Paris)

Lehr-/Forschungsgebiete: Analysis, Algebra, Physik, Theorie der Folgen und Reihen, Funktionentheorie, Stochastik

Augustin Louis Cauchy war ein französischer Mathematiker und Physiker des 19. Jahrhunderts. Die Strenge und Exaktheit seiner Methodik waren wegweisend für die Entwicklung der Mathematik. Besonders bedeutend sind seine Beiträge zur Funktionentheorie und zur Analysis, speziell zur Theorie der Folgen und Reihen. Cauchy lieferte als erster eine Definition von Stetigkeit (unabhängig von Bernad Bolzano). Seine royalistische Einstellung brachte Cauchy zu Zeiten der französischen Revolution oft in Konflikt mit seinen Zeitgenossen. 

Leben

Augustin Louis Cauchy wird 1789, kurz nach Beginn der französische Revolution, in Paris geboren. Seine ersten Lebensjahre verbringt er in Hunger und Armut in Arcueil, wohin sich die royalistisch eingestellte Familie während der Terrorzeiten der Revolution zurückziehen hatte müssen. Nach dem Staatsstreich Napoléons macht Cauchys Vater politische Karriere und die Familie lebt wieder in Paris. Dort macht der junge Cauchy Bekanntschaft mit den Mathematikern Laplace und Lagrange, die Freunde der Familie sind. Nachdem Cauchy zunächst klassische Sprachen lernt, gelingt ihm 1805 die Aufnahme an der noch jungen École Polytechnique. Dort, und zwei Jahre später an der École Nationale des Ponts et Chaussées („Nationale Schule für Brücken und Straßen“), erhält er eine ingenieurwissenschaftliche Ausbildung.

Den Ingenieurberuf übt er aus gesundheitlichen Gründen und abnehmendem Interesse nur drei Jahre aus. Dagegen steigert sich sein Interesse an Mathematik. Als Royalist gibt ab 1815 die Restauration seiner Karriere Auftrieb: Cauchy wird Professor an der École Polytechnique und Mitglied der Académie des sciences. Seine Professur gibt er 1830 aus Protest gegen die Krönung Louis-Philipps auf. Politisches Exil findet er zunächst im schweizerischen Fribourg und ein Jahr später wird er Professor in Turin. 1839 kehrt Cauchy nach Paris zurück. Von der Februarrevolution 1848 ist er enttäuscht, da nicht sein ehemaliger Schüler Henri, Enkel des reaktionären Bourbonenkönigs Karl X., König wird. Cauchy stirbt 1857 in Sceaux, bei Paris.

Umfangreiches Werk

Cauchy war ein überaus produktiver Autor, er schrieb über 800 Artikel und diverse Bücher, die fast die gesamte Bandbreite der Mathematik und mathematischen Physik abdecken. Ein Großteil seiner wissenschaftlichen Beiträge findet sich in den im Rahmen seiner Vorlesungen verfassten Werke Cours d’analyse de l’École Polytechnique, Exercises de mathématique  und Exercises d’analyse et de physique mathématique.

Wegweisende Strenge

Cauchy gilt als Pionier der Analysis und Funktionentheorie sowie der Theorie der Folgen und Reihen. Seine besondere Leistung liegt darin, saubere mathematische Definitionen und strenge Beweise für Aussagen geliefert zu haben, die vorher eher intuitiv behandelt wurden. Wichtige Beispiele hierfür sind Cauchys Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Gemeinsam mit dem böhmischen Mathematiker Bolzano war Cauchy der Erste, der Stetigkeit definierte.

Beiträge zur Theorie der Folgen und Reihen

Bei seiner intensiven Beschäftigung mit Folgen und Reihen entdeckte Cauchy eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten: von grundlegender Bedeutung sind die Cauchy-Folgen (auch: Fundamentalfolgen), die später von Cantor zur Konstruktion der reellen Zahlen verwendet wurden. Cauchy fand und bewies verschiedene Konvergenzkriterien, z.B. das Cauchykriterium oder das Cauchysche Verdichtungskriterium. Der Grenzwertsatz von Cauchy besagt, dass das arithmetische Mittel der Elemente einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert dieser Folge strebt. Der cauchysche Hauptwert erlaubt eine Aussage über divergente Integrale.

Pionier der Funktionentheorie

Cauchy war der Erste, der sich auf strenge Weise mit der Lehre von komplexen Funktionen, also der Funktionentheorie, beschäftigte. Entsprechend fundamental sind seine Beiträge auf dem Gebiet. Beispiele hierfür sind die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, der cauchysche Integralsatz und die Integralformel von Cauchy. Cauchy untersuchte außerdem Funktionalgleichungen.

Weitere Beiträge zu Mathematik und Physik

Weitere mathematische Beiträge Cauchys sind die Cauchy-Verteilung in der Stochastik und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung der Vektorrechnung. In der Zahlentheorie lieferte einen vollständigen Beweis für den Fermatscher Polygonalzahlensatz, nach welchem sich jede natürliche Zahl als Summe aus höchstens \(k\), \(k\)-Eckszahlen darstellen lässt. Darüber hinaus war Cauchy auch für die Entwicklung der Physik wichtig. Zum Beispiel stellte er eine Theorie der Elastizität auf. Die Cauchy-Zahl gibt hier das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den elastischen Kräften in festen Körpern an.

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