Telefon: (030) 300 2440 00 
– Mo bis Fr von 8:30 - 17 Uhr
Über unsHilfeNewsKontaktApp
LernenLehrenWirkungPreiseDEMOEinloggen

Grenzwert

Online Mathe üben

  • Interaktive Aufgaben, Lösungswege und Tipps
  • Automatische Auswertungen und Korrektur
  • Erkennung von Wissenslücken

Ich bin Schüler

Ich bin Elternteil

Ich bin Lehrer

Folge

Eine Folge ist eine Abbildung f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{M}. Man gibt sie häufig durch den Funktionsterm ( a_n = f(n) ist das n-te Folgenglied ) oder durch ein Bildungsgesetz (a_{n} ist die n-te Primzahl) an. Beispiele: a_n = n^2 , die Folge der Quadratzahlen  a_n = \left(-1\right)^{n} \frac{1}{n} . Zahlenfolgen (\mathbb{M}= \mathbb{R}) können einen ->Grenzwert besitzen, gegen den sie ->konvergieren.

Grenzwert (Folge)

Der Grenzwert ist der zentrale Begriff der Analysis. Eine Folge reeller Zahlen a_{n} heißt konvergent gegen den Wert a, wenn es zu jeder vorgegebenen noch so kleinen positiven Zahl \varepsilon > 0 ein n_{0}\in \mathbb{N} gibt, so dass \left | a-a_{n} \right |< \varepsilon für alle n \ge n_{0} gilt. Man sagt, der Grenzwert der Folge ist a oder  \lim_{n\to\infty}a_{n}=a .

Limes

Limes ist der lateinische Ausdruck für ->Grenzwert. Von ihm leitet sich das Symbol "\lim" ab.

Paradoxon von Zenon

Zenon (ca. 500 v.Chr) hat behauptet, dass im Wettlauf zwischen einer Schildkröte und dem griechischen Helden Achilles dieser die Schuldkröte nie einholen kann, wenn sie einen gewissen Vorsprung besitzt. In der Zeit, in der Achilles den Vorsprung der Schildkröte einholt, ist sie bereits ein Stück weiter gelaufen. Dies geht immer so weiter und deshalb kann Achilles die Schildkröte nie einholen. Lösung: Dieses Beispiel wird oft bei Folgen und Reihen und Grenzwerten angeführt, da die Zeitdifferenzen als Folge einen -> Grenzwert besitzen, also Achilles in endlicher Zeit die Schildkröte einholt.

stetig

Eine Funktion heißt in einem Punkt ihres Definitionsbereichs (meist ein Intervall) stetig, wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren und gleich sind. Man kann sich das auch so vorstellen, dass man den Graphen in dem betrachteten Intervall ohne Absetzen des Bleistifts durchzeichen kann. Der Graph darf keine ->Pol- oder Sprungstellen haben.

unendliches Produkt

Ein unendliches Produkt besteht aus unendlich vielen Faktoren: \prod_{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot ... . Falls die Folge p_{n}=\prod_{i=1}^{n}a_{i} einen Grenzwert p besitzt, wird dieser das Produkt genannt. Beispiel: \prod_{i=1}^{\infty }\left ( 1-\frac{1}{(2i)^{2}} \right )=\frac{2}{\pi}

unendliche Reihe

Eine unendliche Reihe ist eine Reihe mit unendlich vielen Summanden: \sum_{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}++a_{2}++... . Falls die Folge s_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i} einen Grenzwert s besitzt, wird dieser die Summe der unendlichen Reihe genannt. Die Reihe heißt dann konvergent.

Reihe (unendliche)

Ist a_{n} eine Folge, so nennt man die Folge s_{n} der Partialsummen s_{n}=\sum_{m=1}^{n}a_{m} die zur Folge gehörende Reihe. Die Reihe heißt konvergent, falls die Folge s_{n} einen Grenzwert besitzt, andernfalls divergent. Beispiele: Die geometrische Reihe \sum_{m=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{m} konvergiert und hat den Grenzwert 1. Die harmonische Reihe \sum_{m=1}^{\infty } \frac{1}{m} divergiert.


Jetzt starten mit bettermarks

Ich bin LehrerIch bin Elternteil

Erfolgreich Mathe lernen mit bettermarks.

Mit den adaptiven Mathebüchern von bettermarks können Schüler Aufgaben auf dem Tablet, dem Computer und dem Smartphone rechnen.
Mehr erfahren ›

bettermarks

StartseiteMathe-Portal
Lehren
LernenPreiseHilfe

Unternehmen

bettermarks.com
Über unsNewsPresseJobsAnfahrtKontakt

Service

RegistrierungLoginPasswort vergessenOnline-Schulung
(030) 300 2440 00 
Montag bis Freitag 8:30 - 17 Uhr
© Copyright 2017 - bettermarks GmbH - All Rights Reserved.
ImpressumAGBDatenschutz
twitterfacebookgoogle-pluslinkedinyoutubexingmenu