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algebraische Gleichung (eine Variable)

Eine Gleichung der Form a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0, wobei die Koeffizienten a_{0},a_{1},...,a_{n} Zahlen sind. Grundaufgabe ist die Auflösung einer solchen algebraischen Gleichung, d.h., es sollen alle Zahlen aus einem vorgegebenen Zahlbereich gefunden werden, die, für die Unbekannte x eingesetzt, die Gleichung erfüllen.  Ist a_{n}\neq 0 , so heißt n der Grad der Gleichung. Beispiele:   Gleichung 2. Grades ->quadratische Gleichung, Gleichung 3. Grades ->kubische Gleichung,Gleichung 4. Grades ->biquadratische Gleichung.

Äquivalenzumformung

Eine Äquivalenzumformung verändert die Erfüllungsmenge nicht,  sie bleibt gleich (äquivalent).  Bei Gleichungen verändert sich die Lösung nicht bei Addition eines Terms auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens oder bei Multiplikation mit einer Zahl ungleich 0.Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung: aus x=-2 ersteht durch Quadrieren x^{2}=4. Die letzte Gleichung hat jedoch zwei Lösungen, x=2 und x=-2 - also VORSICHT.

algebraische Gleichung (mehrere Variable)

In der Zahlentheorie und in der analytischen Geometrie werden auch Gleichungen mit mehreren Unbekannten x, y oder z studiert. Beispiel: 2x + y = 10 .->Diophantische Gleichung, ->algebraische Kurve

Grad (Gleichung)

Der Grad einer algebraischen Gleichung ist die höchste vorkommende Potenz.

Gleichung

Das Aufstellen und Lösen von Gleichungen ist ein zentrales Thema der Mathematik. Zunächst werden die bekannten und die gesuchten Werte benannt und ihre Beziehungen untereinander notiert. Die gesuchten Werte werden meist mit Buchstaben vom Ende des Alphabets (x, y, z) bezeichnet, bekannte Werte als Zahlenwert direkt eingesetzt oder mit Buchstaben vom Anfang des Alphabets bezeichnet. Wenn die Gleichung steht kann man versuchen sie durch ->Äquivalenzumformungen so umzuschreiben, dass die gesuchte Variable isoliert auf einer Seite steht und die andere Seite nur noch bekannte Werte enthält. Die Lösung ist dann entweder als ->Formel gegeben oder lässt sich näherungsweise mit einem Näherungsverfahren…

Gleichsetzungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme können mit dem Gleichsetzungsverfahren (siehe auch ->Einsetzungsverfahren und ->Additionsverfahren) gelöst werden. Dazu wird bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten in jeder Gleichung dieselbe Variable isoliert auf eine Seite gebracht und die beiden anderen Seiten werden gleichgesetzt. Man erhält eine Gleichung in einer Unbekannten, die man lösen kann. Beispiel:Löse a - b =2  und  3a - 5b = 3 . Es ist a = b + 2 nach der ersten Gleichung und a=\frac{5}{3}b+1 nach der zweiten. Daher müssen die beiden rechten Seiten gleich sein: b+2=\frac{5}{3}b+1 (es wird der Wert für a "gleichgesetzt?). Daraus folgt:  1=\frac{2}{3}b  oder  b= \frac 32 = 1 \frac…

Plusminus

Das Symbol „\pm“ wird benutzt, um zwei Lösungmöglichkeiten zu signalisieren. Bei der Lösung der quadratischen Gleichung x²+px+q=0 ergeben sich die beiden Lösungen x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}

Probe

Unter einer Probe versteht man das Einsetzen der errechneten Werte in die Ausgangsgleichungen, um das berechnete Ergebnis zu überprüfen. Hast du keinen Rechenfehler gemacht, so ergibt sich eine wahre Aussage. Dies ist in aller Regel der Nachweis, dass du richtig gerechnet hast.

Vietascher Wurzelsatz

Beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Wurzeln (Lösungen) einer algebraischen Gleichung in einer Variablen. Bei quadratischen Gleichungen der Form x²+px+q=0 gilt für die beiden Lösungen x_1 und x_2: x_1++x_2=-p und x_1\cdot x_2=q.

Ueberbestimmtes System

Ein lineares Gleichungssystem ist überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Variablen besitzt; es ist unterbestimmt, wenn es weniger Gleichungen als Variablen hat.

Bruchgleichung

Unter einer Bruchgleichung versteht man in der Schulmathematik eine Bestimmungsgleichung, die mindestens eine Unbekannte im Nenner erhält.Beispiel: \frac{x-4}{3x-4}-\frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=41. Definitionsbereich: Da der Nenner nie Null sein kann, muss der Definitionsbereich für die Werte eingeschränkt werden, für die der Nenner nicht null wird.Im Beispiel gilt: 3x - 4 = 0 falls x = \frac 4 3 und 12x^2 - 16x = 4x(3x - 4) = 0, falls x = \frac 4 3 oder x=0. Damit ist der maximale Definitionsbereich  \mathbb{R}\setminus \left \{ 0;\frac{4}{3} \right \}.2. Hauptnenner ist im Beispiel 12x^2 - 16x.3. Umformung:\frac{x-4}{3x-4}-\frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4 oder \frac{4x^{2}-16x-4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4 oder -16x = 48x^{2}-64x 48x^{2}}-48x=0 48x(x -…

biquadratische Gleichung

Eine biquadratische Gleichung  ist eine Gleichung 4. Grades, in der nur die 2. und 4. Potenz sowie ein absolutes Glied vorkommen. Sie kann durch die Substitution x^{2}=z in eine quadratische Gleichung umgewandelt und gelöst werden. Beispiel:x^{4}-13x^{2}+36=0Die Substitution x^{2}=z ergibtz^{2}-13z+36=0z_{1,2}%7D%7B%7D%20%7D=%20%5Cfrac%7B13%7D%7B2%7D%20%20%5Cpm%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B169%7D%7B4%7D%20%7D%20-%20%5Cfrac%7B144%7D%7B4%7D%20=%20%5Cfrac%7B13%7D%7B2%7D%20%20%5Cpm%20%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%20z_{1}=9     z_{2}=4z_{1}=x^{2}=9 \rightarrow x_{1}=3,x_{2}=-3z_{2}=x^{2}=4 \rightarrow x_{3}=2,x_{4}=-2

Ungleichung

Wird bei einer Gleichung das Gleichheitszeichen ersetzt durch \leq ,\geq ,< oder >, so erhält man eine Ungleichung. Beispiele: x² + 6 < 5x oder 2a – b > 5. Ungleichungen löst man wie Gleichungen durch ->Äquivalenzumformungen. Man muss nur beachten, dass sich bei Multiplikation mit einer negativen Zahl die Zeichen „umdrehen“: aus \leq wird \geq und umgekehrt und aus < wird > und umgekehrt. Außerdem ist sehr oft eine Fallunterscheidung notwendig. Im zweiten Beispiel wird die Ungleichung durch alle Paare (a,b) erfüllt, für die der Punkt (a|b) unterhalb der Geraden mit der Gleichung b = 2a – 5 liegt. Im ersten Beispiel kann man…

Partialbruchzerlegung

Hat die quadratische Gleichung x² + ax + b = 0 zwei verschiedene Lösungen x_{1} und x_{2}, so lässt sich der Bruchterm \frac{1}{x^{2}++ax++b} zerlegen in \frac{1}{x^{2}++ax++b}=\frac{A}{x-x_{1}}++\frac{B}{x-x_{2}} mit Konstanten A und B, die man durch ->Koeffizientenvergleich bestimmen kann. Beispiel: Da x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) gilt, kannst du \frac{1}{x^{2}++8x++15}=\frac{A}{x++5}++\frac{B}{x++3} ansetzen. Bringst du die Bruchterme der rechten Seite auf den Hauptnenner, so wird der Zähler (x + 3)A + (x + 5)B = 1. Umstellen ergibt x(A + B) + (3A + 5B) = 1 und durch Koeffizientenvergleich: A + B = 0 oder B = -A…

Newton-Verfahren

Das Newtonsche Näherungsverfahren erlaubt es, rekursiv eine Nullstelle beliebig genau zu berechnen, falls die Funktionsgleichung differenzierbar ist. Ist eine Funktion mindestens zweimal differenzierbar, f^\prime(x_i) \neq 0 für x_i in der Nähe einer Nullstelle, so schneidet die Tangente in (x_i|f(x_i)) die x-Achse an der Stelle x_{i+1} und der neue Wert x_{i+1} = x_i- \frac {f(x_i)}{f^\prime(x_i)} ist in viele Fällen eine bessere Näherung an die Nullstelle. Beispiel: f(x)=1-\frac{2}{x^{3}} ; f^\prime(x)=\frac{6}{x^{4}} Für x = 1 ist f(x) < 0 , für  x = 2  ist f(x) > 0, also liegt dazwischen eine Nullstelle, denn f ist stetig auf . x_1 = 1x_2 = 1 - \frac…


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