Gruppentheorie

Die Gruppe ist eine der am häufigsten verwendeten Strukturen in der Mathematik. Sie trat zuerst explizit im Zusammenhang mit der Auflösung algebraischer Gleichungen (nach Vorarbeiten von Joseph-Louis Lagrange und der Untersuchung von Augustin Cauchy über Permutationen, d.h. bijektiver Abbildungen endlicher Mengen) um 1830 bei Evariste Galois auf. Die heute gebräuchliche axiomatische Beschreibung wurde 1882 von Walther Franz Anton von Dyck und Heinrich Martin Weber gegeben. Danach ist eine Gruppe G eine Menge mit einer Verknüpfung B, die die folgenden Axiome erfüllt:

(A1) je zwei Elementen \(a,b \in G\) wird genau ein Element \(a\circ b \in G\) zugeordnet,

(A2) für je drei Elemente \(a,b,c \in G\) gilt das Assoziativgesetz \((a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\),

(A3) es gibt ein neutrales Element \(e \in G\) mit

\(e \circ a = a \circ e = a\) für alle \(a \in G\),

(A4) zu jedem \(a \in G\) existiert ein inverses Element, d.h., es gibt genau ein \(b \in G\) mit

\(a \circ b = b \circ a = e\).

Gilt auch das Kommutativgesetz (\(a \circ b = b \circ a\) für alle \(a, b \in G\)), so spricht man von einer kommutativen oder abelschen Gruppe.
Direkt aus den Axiomen kann man herleiten, dass die Bezeichnungen in (A3) und (A4) gerechtfertigt sind: Das neutrale Element e einer Gruppe ist eindeutig bestimmt und ebenso für jedes \(a \in G\) das inverse Element, das meist mit \(a^{-1}\) bezeichnet wird. Daraus folgt:

• Es gilt die Kürzungsregel: Aus \(a \circ b = a \circ c\) oder \(b \circ a = c \circ a\) folgt jeweils b = c.
• Die Gleichung \(a \circ x = b\) ist stets eindeutig lösbar und die Lösung ist \(x = a-1 \circ b\).
  Ebenso hat \(x \circ a = b\) die eindeutige Lösung\(x = b \circ a-1\).

Beispiele:

1. Die Menge \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen mit der Addition (+) als Verknüpfung und dem neutralen Element 0. Die rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\) und die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) bilden jeweils eine Untergruppe.

2. Die Menge \(\mathbb{R}_+\) der positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (?) als Verknüpfung und dem neutralen Element 1. Die positiven rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}_+\) bilden eine Untergruppe, die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) nicht, denn außer 1 besitzt keine natürliche Zahl ein inverses Element. Es gelten jedoch das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. Man sagt, \(\mathbb{N}\) sei eine kommutative Halbgruppe.

3. Die Rotationen eines regelmäßigen n-Ecks bilden eine Gruppe mit n Elementen.

4. Für eine natürliche Zahl n > 1 kann man die ganzen Zahlen in endlich viele Teilmengen zerlegen, die so genannten Restklassen modulo n. Dabei gehören alle die Zahlen zu einer Restklasse, deren Differenz durch n teilbar ist. Für k = 0,, n-1 sei

\(\underline{k} = \left \{ m \in \mathbb{Z}\: |\: n \text{ teilt } m-k \right \} = \left\{m\in \mathbb{Z}\:| \:m \equiv k (\!\!\!\!\mod n)\right \}.\)

Dann ist n = {0, 1, ", n1} mit der Addition

\(\mathbb{Z}_n=\left \{ \underline{0},\underline{1},...,\underline{n-1} \right \}\)

eine kommutative Gruppe mit n Elementen.

Zwischen zwei Gruppen G und H betrachtet man diejenigen Abbildungen, die die Verknüpfung respektieren, Eine solche Abbildung \(\phi \), ein Gruppenhomomorphismus (oder kurz Homomorphismus), liegt vor, wenn \(\phi (g_1\circ g_2) = \phi(g_1) \circ \phi (g_2)\) für alle \(g_1, g_2 \in G\) gilt. Einen bijektiven Homomorphismus nennt man einen Isomorphismus. Zueinander isomorphe Gruppen besitzen dann dieselbe Grupepnstruktur.
Beispiel: Die Exponentialfunktion \(exp: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+, exp(x) = e^x, x \in \mathbb{R}\), definiert einen Isomorphismus, denn es gilt \(e^{x+y} = e^x \cdot e^y\).
In der Geometrie treten Gruppen auf als Symmetriegruppen von geometrischen Figuren. Sie bestehen aus den Kongruenzabbildungen (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen), die die Figur auf sich selbst abbilden. Die Verknüpfung ist jeweils das hintereinander Ausführen (Komposition) der Abbildungen. Diese Symmetriegruppen haben wichtige Anwendungen in der Physik (Klassifikation der Elementarteilchen, Invarianz physikalischer Gesetze und damit verbundene Erhaltungssätze) und in der Chemie (Struktur der Kristalle).
Eine Hauptaufgabe der Gruppentheorie besteht in der Klassifikation der Gruppen, d.h. in der Unterscheidung aller Gruppen nach Isomorphie. Für alle endlichen Gruppen ist dies inzwischen gelungen.

Beispiel für eine endliche Gruppe liefert der Zauberwürfel. Die Gruppe aller möglichen Drehungen besitzt insgesamt

\(8! \cdot 12! \cdot 2^7 \cdot 2^{10} = 43.252.003.274.489.856.000\)

Elemente.

Ein einfacheres Beispiel ist die Symmetriegruppe einer Schneeflocke. Sie entspricht aus rein mathematischer Sicht derjenigen eines regelmäßigen Sechsecks und enthält nur 12 Elemente.